Начертательная геометрия Сопромат. Расчеты при выполнении курсового задания Техническая механика Лабораторные работы по сопротивлению материалов На главную

Сопромат. Расчеты при выполнении курсового задания

Примеры решения задач

Ступенчатый брус нагружен вдоль оси двумя силами. Брус защемлен с левой стороны (рис. 20.6). Пренебрегая весом бруса, построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Рис.

Решение

Определяем участки нагружения, их два. [an error occurred while processing this directive]

Определяем продольную силу в сечениях 1 и 2.

Строим эпюру.

Рассчитываем величины нормальных напряжений и строим
эпюру нормальных напряжений в собственном произвольном масштабе.

1. Определяем продольные силы.

Сечение 1. – N1 + F1 = 0; N1 = F1 = 100 кН.

Сечение 2. - 80 - N2 + 100 = 0; N2 = 100 - 80 = 20 кН.

В обоих сечениях продольные силы положительны.

2. Определяем нормальные напряжения .

Сопоставляя участки нагружения с границами изменения площади, видим, что образуется 4 участка напряжений. Нормальные напряжения в сечениях по участкам:

; ;

.

Откладываем значения напряжений вверх от оси, т. к. значения иx положительные (растяжение). Масштаб эпюр продольной силы и нормальных напряжений выбирается отдельно в зависимости от порядка цифр и имеющегося на листе места.


Контрольные вопросы и задания

1. Какие внутренние силовые факторы возникают в сечении бруса при растяжении и сжатии?

2. Как распределяются по сечению силы упругости при растяжении и сжатии? (Использовать гипотезу плоских сечений.).

3. Какого характера напряжения возникают в поперечном сечении при растяжении и сжатии: нормальные или касательные?

4. Как распределены напряжения по сечению при растяжении и сжатии?

5. Запишите формулу для расчета нормальных напряжений при растяжении и сжатии.

6. Как назначаются знаки продольной силы и нормального напряжения?

7. Что показывает эпюра продольной силы?

8. Как изменится величина напряжения, если площадь поперечного сечения возрастет в 4 раза?

9. В каких единицах измеряется напряжение?


Растяжение и сжатие.

 Продольные и поперечные деформации.

Закон Гука

Иметь представление о продольных и поперечных деформация! и их связи.

Знать закон Гука, зависимости и формулы для расчета напряжений и перемещений.

Уметь проводить расчеты на прочность и жесткость статически определимых брусьев при растяжении и сжатии.

Деформации при растяжении и сжатии

Рассмотрим деформацию бруса под действием продольной силы F (рис. 21.1).

Рис.

Начальные размеры бруса: lo – начальная длина, ао — начальная ширина.

Брус удлиняется на величину Δl; Δl - абсолютное удлинение. При растяжении поперечные размеры уменьшаются, Δа — абсолютное сужение; Δl > 0; Δа < 0.

При сжатии выполняется соотношение Δl < 0; Δа > 0.

В сопротивлении материалов принято рассчи-

тывать деформации в относительных единицах:

; ε - относительное удлинение;

; ε' – относительное сужение.

Между продольной и поперечной деформациями существует зависимость

ε' = με,

где μ — коэффициент поперечной деформации, или коэффициент Пуассона, -характеристика пластичности материала.

Закон Гука

В пределах упругих деформаций деформации прямо пропорциональны нагрузке:

F = kΔl,

где F — действующая нагрузка; k — коэффициент.

В современной форме:

.

Получим зависимость σ=Eε, где Е — модуль упругости, характеризует жесткость материала.

В пределах упругости нормальные напряжения пропорциональны относительному удлинению.

Значение Е для сталей в пределах (2÷2,l) • 105 МПа.

При прочих равных условиях, чем жестче материал, тем меньше он деформируется:

.

Формулы для расчета перемещений поперечных

сечений бруса при растяжении и сжатии

Используем известные формулы.

Закон Гука σ=Eε.

Откуда .

Относительное удлинение .

В результате получим зависимость между нагрузкой, размерами бруса и возникающей деформацией:

; ;

 или ,

где Δl — абсолютное удлинение, мм;

σ - нормальное напряжение, МПа;

/ — начальная длина, мм;

Е — модуль упругости материала, МПа;

N — продольная сила, Н;

А — площадь поперечного сечения, мм2;

Произведение АЕ называют жесткостью сечения.

Выводы

Абсолютное удлинение бруса прямо пропорционально вели
чине продольной силы в сечении, длине бруса и обратно пропорционально площади поперечного сечения и модулю упругости.

Связь между продольной и поперечной деформациями завис
от свойств материала, связь определяется коэффициентом Пуассона, называемом коэффициентом поперечной деформации.

Коэффициент Пуассона: у стали μ от 0,25 до 0,3; у пробки μ = 0: у резины μ = 0,5.

3. Поперечные деформации меньше продольных и редко влияют
на работоспособность детали; при необходимости поперечная деформация рассчитывается через продольную.

; ; откуда Δа = ε'а0 ,

где Δа — поперечное сужение, мм; ао — начальный поперечный размер, мм.

4. Закон Гука выполняется в зоне упругих деформаций, которая определяется при испытаниях на растяжение по диаграмме растяжения (рис. 21.2).

Рис.

При работе пластические деформации не должны возникать, упругие деформации малы по сравнению с геометрическими размерами тела. Основные расчеты в сопротивлении материалов проводятся в зоне упругих деформаций, где действует закон Гука.

На диаграмме (рис. 21.2) закон Гука действует от точки 0 до точки 1.

5. Определение деформации бруса под нагрузкой и сравнение ее с допускаемой (не нарушающей работоспособности бруса) называют расчетом на жесткость.

Примеры решения задач

Дана схема нагружения и размеры бруса до деформации (рис. 21.3). Брус защемлен, определить перемещение свободного конца.

Решепие

1.  Брус ступенчатый, поэтому следует построить эпюры продольных сил и нормальных спряжений.

Делим брус на участки нагружения, определяем продольные силы, строим эпюру продольных сил.

2. Определяем величины нормальных напряжений по сечениям с учетом изменений площади поперечного сечения.

Строим эпюру нормальных напряжений.

3. На каждом участке определяем абсолютное удлинение. Результаты алгебраически суммируем.

Примечание. Балка защемлена, в заделке возникает неизвестная реакция в опоре, поэтому расчет начинаем со свободного конца (справа).

1. Два участка нагружения:

участок 1: N1 = + 25 кН; растянут;

участок 2: 25 – 60 + N2 = 0; N2 = - 35 кН; сжат.

2. Три участка по напряжениям:

; ;

;

3. Удлинения участка (материал – сталь Е = 2 · 105 МПа):

;

;

.

4. Суммарное удлинение бруса (перемещение свободного конца).

Δl = Δl2 + Δl3 ;

Δl =0,125 + 0,05 – 0,07 = 0,105 мм.

Рис.


Контрольные вопросы и задания

1. Стальной стержень длиной 1,5 м вытянулся под нагрузкой на 3 мм. Чему равно относительное удлинение? Чему равно относительное сужение? (μ= 0,25.).

2. Что характеризует коэффициент поперечной деформации?

3. Сформулируйте закон Гука в современной форме при растяжении и сжатии.

4. Что характеризует модуль упругости материала? Какова единица измерения модуля упругости?

5. Запишите формулы для определения удлинения бруса. Что характеризует произведение АЕ и как оно называется?

6. Как определяют абсолютное удлинение ступенчатого бруса, нагруженного несколькими силами?


Теория конструктивных материалов Культура эпохи Петра Великого http://indsup.ru/ Основы конструирования