Решение типового варианта по математике

Математика
Решение типового варианта контрольной
работы по математике
Школьный курс лекций
Предел последовательности
Декартова система координат
Квадратный трехчлен
Дробно-линейная функция
Графические методы решения задач
Система уравнений с двумя переменными
Метод Гаусса
Математический анализ
Векторная алгебра и аналитическая геометрия
 

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен. Основные идеи заключаются в выделении в квадратном трехчлене полного квадрата и в проведении линейной замены, позволяющей свести исходный интеграл к табличным вида 10)-16).

Пример 5.5. Найти: а) ; б) ; в) .

Решение. В случае а) действуем следующим образом:

,

поэтому (с учетом 13) )

При решении примера б) потребуются дополнительные преобразования, связанные с присутствием переменной в числителе подынтегральной функции. Выделив полный квадрат в знаменателе (), получим:

Для второго из интегралов в силу 11) (табл.2) имеем: . В первом интеграле проведем внесение под знак дифференциала:

.

Таким образом, собирая все вместе и возвращаясь к переменной x, получаем:

В примере в) также предварительно выделяем полный квадрат:

.

Далее проводим замену переменной () и окончательно имеем:

5.5. Интегрирование простейших тригонометрических функций. При интегрировании выражений вида  (где m и n – натуральные числа) рекомендуется принимать во внимание следующие правила.

1) Если обе степени четные, то применяются формулы «понижения степени»: .

2) Предположим, что какое-либо из чисел m и n – нечетное. Например, n=2k+1. В этом случае одну из степеней функции cosx «отщепляют», чтобы внести под знак дифференциала (т.к. ). В оставшемся выражении  с помощью основного тригонометрического тождества  выражают через  (). После преобразования подынтегрального выражения (и с учетом свойства линейности) получается алгебраическая сумма интегралов вида , каждый из которых можно найти с помощью формулы 2) из таблицы 2: .

Кроме того, в некоторых случаях полезны также формулы

 ; (5.4)

 ; (5.5)

 . (5.6)

Пример 5.6. Найти: а) ; б) ; в) .

Решение. а) В подынтегральную функцию входит нечетная (5-я) степень sinx, поэтому действуем по второму правилу, учитывая, что .

В примере б) воспользуемся формулой (5.4), линейностью неопределенного интеграла, равенством  и табличной формулой 4):

В случае в) последовательно понижаем степень, учитываем линейность, возможность внесения константы под знак дифференциала и нужные табличные формулы:

Математика примеры решения задач, лекции и конспекты