Решение типового варианта по математике

Математика
Решение типового варианта контрольной
работы по математике
Школьный курс лекций
Предел последовательности
Декартова система координат
Квадратный трехчлен
Дробно-линейная функция
Графические методы решения задач
Система уравнений с двумя переменными
Метод Гаусса
Математический анализ
Векторная алгебра и аналитическая геометрия
 

Экстремумы функции двух переменных. Сразу отметим, что само определение локальных экстремумов функции  фактически не отличается от случая функции одного переменного  (только теперь точками локального экстремума будут точки вида ). Алгоритм поиска состоит в следующем.

1) Установить область определения функции.

2) Найти ее частные производные первого порядка и приравнять их к нулю, т.е. решить систему уравнений

.

Решения этой системы дадут координаты стационарных точек.

3) Найти частные производные второго порядка для исследуемой функции и вычислить их значения в найденных ранее стационарных точках вида .

4) Найти для каждой стационарной точки числовые характеристики:

  (4.2)

5) Если , то  - точка локального минимума исходной функции и ; если , то  - точка локального максимума исходной функции и ; во всех остальных случаях  не является точкой экстремума.

Пример 4.8. Найти экстремумы функции .

Решение. Функция определена при всех парах (x,y). Найдем частные производные первого порядка, приравняем их к нулю и решим систему уравнений:

;

.

Отсюда получаем, что y = -1 и x = 4.

Итак, найдена стационарная точка M(4;-1). Находим частные производные второго порядка:

;

.

В данном случае производные от x, y не зависят, поэтому и для стационарной точки M(4;-1) имеем: ; ; . В силу (.4.2) , поэтому M(4;-1) является точкой локального экстремума исходной функции. Далее, , следовательно, M(4;-1) – точка локального максимума f(x,y), и

Пример 4.9. Найти экстремумы функции , считая, что x>0 и y>0.

Решение. Область определения функции задана в условии. Найдем частные производные первого порядка: , . Далее, решаем систему уравнений (учитывая условие x>0, y>0):

Итак, определена стационарная точка M(1;1). Находим частные производные второго порядка: . Вычисляем их значения в точке M: ; . Подставляем в (4.2). Так как , то M(1;1) – точка экстремума; поскольку , то она является точкой локального минимума исходной функции и .

Понятие об условном экстремуме функции двух переменных. При решении примера 4.9 мы столкнулись с тем, что на переменные было наложено дополнительное ограничение. Фактически это была задача поиска условного экстремума функции , которая в общем случае ставится следующим образом: найти экстремумы функции , если известно, что переменные удовлетворяют условиям , ,..., . Для решения подобных проблем существует специальная теория, однако в некоторых ситуациях задачу удается свести к поиску обычного экстремума функции одного переменного.

Пример 4.10. Найти экстремум функции  при условии .

Решение. Из условия выразим y и подставим в формулу, задающую функцию: , а потому .

Мы получили функцию одного переменного, которую исследуем по схеме, разобранной в п.4.1. Функция определена при всех x. Приравнивая к нулю производную, получаем: . Далее определяем знак производной на интервала и строим таблицу:

x

-5/3

1

+

0

0

+

Вывод

Возр.

Т. макс.

Убыв.

Т. мин.

Возр.

Для известных значений x найдем соответствующие им значения y: при x=1 y=2; при x=-5/3 y=14/3. Существующие в теории утверждения позволяют говорить о том, что точка M(1;2) будет точкой минимума исходной функции , а точка N(-5/3;14/3) – точкой максимума этой функции. Соответственно,

.

Математика примеры решения задач, лекции и конспекты