Решение типового варианта по математике

Математика
Решение типового варианта контрольной
работы по математике
Школьный курс лекций
Предел последовательности
Декартова система координат
Квадратный трехчлен
Дробно-линейная функция
Графические методы решения задач
Система уравнений с двумя переменными
Метод Гаусса
Математический анализ
Векторная алгебра и аналитическая геометрия
 

Пример 1.4.7. Провести полное исследование и построить график функции .

Решение. Придерживаемся предложенной схемы исследования.

1. Функция определена при всех вещественных x, кроме x = -2.

2. Область определения не симметрична относительно начала координат, поэтому свойством четности или нечетности функция не обладает (заметим, что в случае симметричности области определения необходимо проверить выполнение одного из равенств: f(-x)=f(x) или f(-x)=-f(x)). Исходная функция не является и периодической.

3. Решая уравнение f(x)=0, находим, что график функции пересекает оси координат в точке (0,0).

4. В силу свойств непрерывных функций функция  непрерывна там, где определена, т.е. при всех вещественных x, кроме x = -2. Поскольку

,

то x = -2 – точка разрыва второго рода, а прямая x = -2 является вертикальной асимптотой графика. Кроме того, заметим, что , .

5. Необходимые расчеты, связанные с исследованием первой производной, были проведены при решении примера 4.1. В частности, была найдена первая производная , определены точки экстремума и значения функции в них: x = -4 – точка максимума, графику принадлежит точка (-4, f(-4)), т.е. (-4;-8); x = -4 – точка минимума, графику принадлежит точка (0, f0)), т.е. (0;0). Кроме того, из таблицы следовало, что f(x) возрастает на интервалах  и , а убывает на интервалах  и

6. Найдем теперь вторую производную:

Очевидно, что знак второй производной зависит только от знака знаменателя. При x>-2  и график направлен выпуклостью вниз, а при x>-2   и график направлен выпуклостью вверх.

7. Найдем теперь уравнение наклонной асимптоты. По первой из формул (4.1) получаем: 

(поступали так же, как при решении примера 1.1). Далее,

(аналогично). Таким образом, прямая  – наклонная асимптота.

Эскиз полученного графика приведен на рис.2.

Рис.2

Математика примеры решения задач, лекции и конспекты