Направления выпуклости графика функции одного переменного. Рекомендуется
придерживаться следующего алгоритма:
1) Установить область определения
функции
.
2) Найти вторую производную
.
3) Выяснить, в каких точках из области определения
вторая производная обращается в нуль (т.е. решить уравнение
).
4) Установить знак второй производной на числовых
интервалах, на которые найденные точки разбили область определения, и определить
направления выпуклости (если
, то график функции направлен выпуклостью вверх, т.е. Ç;
если
- выпуклостью вниз, т.е. È).
5)
Если при переходе через найденную точку
направление выпуклости меняется, то точка
называется точкой перегиба графика функции.
Пример 4.6. Найти направления
выпуклости и точки перегиба графика функции
.
Решение.
Данная функция определена для всех действительных чисел, ее производная имеет
вид
, а вторая производная
(она также определена при всех x). Из уравнения
находим точки:
,
. Составляем таблицу для числовых интервалов,
определяем знак второй производной и характер выпуклости графика заданной функции.
Заметим, что
:
x | 
| 
| 
| 
| 
|

| — | 0 | + | 0 | — |
Вывод | График направлен выпуклостью вверх, Ç | 5/36 | График направлен выпуклостью вниз, È | 5/36 | График направлен выпуклостью вверх, Ç |
Таким образом,
точки
и
— точки перегиба.
Построение эскиза графика функции
одного переменного. Полное исследование функции проводится по следующему плану.
1.
Найти область определения функции y=f(x).
2. Проверить наличие у исследуемой
функции дополнительных свойств (четность, нечетность, периодичность). В случае,
когда, например, функция является нечетной (четной), достаточно проводить исследования
и строить эскиз графика при
с последующим
симметричным его отображением (относительно начала координат для нечетной функции
или относительно оси OY для четной).
3. Определить координаты точек пересечения
графика функции с осями координат (для нахождения точки пересечения графика с
осью OX решаем уравнение f(x)=0; для нахождения точки пересечения графика с осью
OY подставляем в аналитическое выражение функции значение x=0).
4. Определить,
где функция f(x) является непрерывной; установить точки разрыва и найти
и
. Если хотя бы один из этих пределов равен бесконечности,
то прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции.
5. Найти
и с ее помощью определить интервалы монотонности функции,
точки экстремума и экстремальные значения.
6. Найти
, с ее помощью определить направления выпуклости графика
функции и найти точки перегиба.
7. Найти наклонные асимптоты графика. Уравнение
наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b, где k и b находятся по формулам
(4.1)
(предполагается, что эти пределы существуют
и конечны).
В некоторых случаях пределы в (4.1) приходится вычислять отдельно
при
и 
8. Собрать всю информацию и
построить эскиз графика.