Если сфера вписана в многогранник, то объем этого многогранника равен где S – площадь полной поверхности многогранника, r – радиус вписанной сферы.
Соединим центр вписанной сферы со всеми вершинами многогранника. При этом многогранник делится на несколько пирамид (их количество равно количеству граней многогранника). Высота каждой из этих пирамид равна r, а площадь основания – это площадь некоторой грани многогранника, поэтому ( m – количество граней), что и требовалось доказать.
Поскольку центр вписанной сферы одинаково удален от всех граней многогранника, он лежит на пересечении биссекторных плоскостей всех двугранных углов многогранника.
В правильную n -угольную пирамиду можно вписать сферу.
Чертеж 5.6.2.
На чертеже 5.6.2 изображена n -я часть правильной n -угольной пирамиды, где PC – апофема боковой грани PAB ; CO' – биссектриса угла PCO . Ясно, что точка O' одинаково удалена от всех граней пирамиды и является центром вписанной сферы: OO' = r – радиус вписанной сферы.
Из Δ O'OC имеем: O'O = r = OC tg (α/2), или r = r 1 tg (α/2), где r 1 – радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, α – двугранный угол при ребре основания.