Инженерная графика
Физика
Алгебра
Матанализ
Черчение
Лекции
Примеры
Начертательная геометрия

Сопромат

Курсовые проект
Контрольная
Задачи
Лабораторные
Практика
Школьный курс
На главную

Контрольная по математике. Примеры решения задач школьного курса Контрольная по математике

Касания круглых тел с прямой и плоскостью

Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая единственную общую точку со сферой.

Через любую точку A сферы проходит единственная касательная плоскость. Эта плоскость перпендикулярна радиусу OA сферы, где O – центр сферы.

Доказательство
1
Рисунок 5.5.1.

Пусть α – некоторая плоскость, проходящая через A и перпендикулярная OA (рис. 5.5.1). Все точки плоскости α, кроме точки A , удалены от точки O на расстояние большее, чем OA , поскольку кратчайший путь от точки до плоскости – это путь по перпендикуляру к плоскости. Значит, α – касательная плоскость. Обратно, если некоторая плоскость касается сферы в точке A , то A – ближайшая к O точка плоскости. Значит, эта плоскость совпадает с α.

Теорема 5.3. 

Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то линия сечения сферы этой плоскостью – окружность.

Доказательство
Рисунок 5.5.2.

Пусть задана сфера ω ( O R ) и плоскость α, O 1  = П p α O , OO 1  <  R по условию. Если произвольная точка A принадлежит линии пересечения сферы и плоскости, то OA  =  R . Из прямоугольного треугольника OO1A имеем Поскольку величины R и OO 1 фиксированы, то и величина O 1 A фиксирована. Это означает, что точка пересечения плоскости α и сферы ω лежит на данном расстоянии от точки O 1, следовательно, точка A лежит на окружности

Из теоремы следует, что, когда расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса, сечение шара этой плоскостью – круг. Если плоскость удалена от центра сферы на расстояние R , то она является касательной плоскостью

Задачи

Ядерная энергетика