Инженерная графика
Физика
Алгебра
Матанализ
Черчение
Лекции
Примеры
Начертательная геометрия

Сопромат

Курсовые проект
Контрольная
Задачи
Лабораторные
Практика
Школьный курс
На главную

Контрольная по математике. Примеры решения задач школьного курса Контрольная по математике

Пирамида

Многогранник, у которого одна грань, называемая основанием , – многоугольник, а другие грани – треугольники с общей вершиной, называется пирамидой .

Грани, отличные от основания, называются боковыми . Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды .

Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми . Обозначая пирамиду, сначала называют ее вершину, а затем – вершины основания.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание. Длина этого перпендикуляра обозначается буквой H . В зависимости от числа сторон основания пирамида называется треугольной, четырехугольной, пятиугольной и т. д.

Определение 4.10. 

Пирамида называется правильной , если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину и диагональ основания, называется диагональным сечением .

Теорема 4.10. 

Если все боковые ребра пирамиды равны, то ее высота проходит через центр круга, описанного вокруг основания.

Доказательство

Чертеж 4.7.1.

Пусть PO – высота пирамиды (чертеж 4.7.1). Поскольку все боковые ребра равны, то равны их проекции на плоскость основания, то есть OA   =   OB   =   OC   =  .... Итак, O – центр круга, описанного вокруг основания.

Теорема 4.11. 

Если все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, а высота проходит внутри пирамиды, то высота проходит через центр вписанного в основание пирамиды круга.

Доказательство

Чертеж 4.7.2.

Пусть PO – высота пирамиды (чертеж 4.7.2). Проведем перпендикуляры из точки O на стороны основания. Пусть ON и OM – два таких перпендикуляра; PMO и PNO – линейные углы двугранных углов при ребрах AC и BC основания пирамиды. По условию, PMO  =  PNO , следовательно Δ PMO  = Δ PNO и OM  =  ON . Аналогично докажем, что точка O одинаково удалена от всех сторон основания. Следовательно, она является центром вписанного в основание круга.

Теорема 4.12. 

Если все боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом φ, то Sб= Эта формула справедлива, в частности, для правильной пирамиды.

Определение 4.11. 

Апофемой боковой грани правильной пирамиды называется высота этой грани, проведенная из вершины пирамиды.

Теорема  4.13. 

Для правильной пирамиды справедливы формулы:

Теорема 4.14. 

Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания, (чертеж 4.7.3), то:

Чертеж 4.7.3.

боковые ребра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные отрезки в отношении

площади сечения и основания пирамиды относятся как квадраты их расстояний до вершины пирамиды:


Задачи

Лабораторные
Электротехника
Ядерная энергетика
История искусств
Контрольная работа
Теплотехника