Контрольная по математике. Примеры решения задач школьного курса Контрольная по математике

Пирамида

Многогранник, у которого одна грань, называемая основанием , – многоугольник, а другие грани – треугольники с общей вершиной, называется пирамидой .

Грани, отличные от основания, называются боковыми . Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды .

Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми . Обозначая пирамиду, сначала называют ее вершину, а затем – вершины основания.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание. Длина этого перпендикуляра обозначается буквой H . В зависимости от числа сторон основания пирамида называется треугольной, четырехугольной, пятиугольной и т. д.

Определение 4.10. 

Пирамида называется правильной , если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину и диагональ основания, называется диагональным сечением .

Теорема 4.10. 

Если все боковые ребра пирамиды равны, то ее высота проходит через центр круга, описанного вокруг основания.

Доказательство

Чертеж 4.7.1.

Пусть PO – высота пирамиды (чертеж 4.7.1). Поскольку все боковые ребра равны, то равны их проекции на плоскость основания, то есть OA   =   OB   =   OC   =  .... Итак, O – центр круга, описанного вокруг основания.

Теорема 4.11. 

Если все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, а высота проходит внутри пирамиды, то высота проходит через центр вписанного в основание пирамиды круга.

Доказательство

Чертеж 4.7.2.

Пусть PO – высота пирамиды (чертеж 4.7.2). Проведем перпендикуляры из точки O на стороны основания. Пусть ON и OM – два таких перпендикуляра; PMO и PNO – линейные углы двугранных углов при ребрах AC и BC основания пирамиды. По условию, PMO  =  PNO , следовательно Δ PMO  = Δ PNO и OM  =  ON . Аналогично докажем, что точка O одинаково удалена от всех сторон основания. Следовательно, она является центром вписанного в основание круга.

Теорема 4.12. 

Если все боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом φ, то Sб= Эта формула справедлива, в частности, для правильной пирамиды.

Определение 4.11. 

Апофемой боковой грани правильной пирамиды называется высота этой грани, проведенная из вершины пирамиды.

Теорема  4.13. 

Для правильной пирамиды справедливы формулы:

Теорема 4.14. 

Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания, (чертеж 4.7.3), то:

Чертеж 4.7.3.

боковые ребра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные отрезки в отношении

площади сечения и основания пирамиды относятся как квадраты их расстояний до вершины пирамиды:


Вернуться на главную