Контрольная по математике. Примеры решения задач школьного курса Контрольная по математике

Параллелепипед

Теорема 4.8. 

Каждый параллелепипед имеет центр симметрии.

Доказательство

Чертеж 4.6.1.

Пусть O – середина диагонали BD 1 параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (чертеже 4.6.1). Докажем, что O – центр симметрии всего параллелепипеда. Поскольку каждое диагональное сечение параллелепипеда – параллелограмм с центром O , то для каждой вершины параллелепипеда найдется другая вершина, симметричная ей относительно точки O . Следовательно O – центр симметрии параллелепипеда.

Следствие 4.1. 

Противоположные грани любого параллелепипеда равны и параллельны.

Определение 4.8. 

Прямоугольным называется параллелепипед, все грани которого прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед с равными ребрами называется кубом .

Три ребра, выходящие из одной вершины прямоугольного параллелепипеда называются его измерениями (длиной, шириной, высотой) .

Теорема 4.9. 

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равняется сумме квадратов его измерений: d 2  =  a 2  +  b 2  + c 2.

Доказательство

Чертеж 4.6.2.

На чертеже 4.6.2 показан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. По теореме Пифагора имеем: BD12=DD12+BD2=DD12+DA2+DC2

Заметим, что если ребро куба равно a , а его диагональ равна d , то d2=3a2 и

Легко заметить, что все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
Вернуться на главную