Инженерная графика
Физика
Алгебра
Матанализ
Черчение
Лекции
Примеры
Начертательная геометрия

Сопромат

Курсовые проект
Контрольная
Задачи
Лабораторные
Практика
Школьный курс
На главную

Контрольная по математике. Примеры решения задач школьного курса Контрольная по математике

Параллельность двух плоскостей

Определение 2.5. 

Две плоскости называются параллельными , если они не имеют общих точек.

Теорема  2.6. Признак параллельности плоскостей.

Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны.

Доказательство

Чертеж 2.3.1.

Доказательство проведем от противного. Пусть прямые a и b лежат в плоскости β, причем a  || α и b  || α (чертеж 2.3.1). Если плоскости α и β не параллельны, то они пересекаются по некоторой прямой c . Поскольку a  || α, то по теореме о следе  c  ||  a . Аналогично получаем, что c  ||  b , тогда a  ||  b . Мы пришли к противоречию, поскольку a и b по условию пересекаются.

Теорема 2.7. 

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то она оставляет на этих плоскостях параллельные следы.

Чертеж 2.3.2.

Доказательство

Пусть α и β параллельны, γ – третья плоскость, которая пересекает их, причем α   γ  =  a , β   γ  =  b . Таким образом, a и b – следы плоскости γ на плоскостях α и β. Прямые a и b лежат в одной плоскости γ и не имеют общих точек, так как общих точек не имеют плоскости α и β. Следовательно, a  ||  b .

Теорема 2.8. 

Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Теорема 2.9. 

Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны.

Чертеж 2.3.3.

Теорема 2.10. 

Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях.

Доказательство

Чертеж 2.3.4.

На чертеже 2.3.4 показаны углы BAC и B 1 A 1 C 1, причем AB  ||  A 1 B 1 и AC  ||  A 1 C 1. По признаку параллельности плоскостей плоскость BAC параллельна плоскости B 1 A 1 C 1.

Пусть соответствующие отрезки на сторонах угла равны: AB  =  A 1 B 1 и AC  =  A 1 C 1. Проведем прямые AA 1, BB 1, CC 1. Четырехугольник ABB 1 A 1 – параллелограмм, так как AB  =  A 1 B 1 и AB  ||  A 1 B 1, следовательно, AA 1  =  BB 1 и AA 1  ||  BB 1. Аналогично докажем, что AA 1  =  CC 1. Отсюда следует, что BB 1  =  CC 1 и BB 1  ||  CC 1, следовательно, CBB 1 C 1 – параллелограмм и CB  =  C 1 B 1. Теперь утверждаем, что Δ  ABC  =  Δ  A 1 B 1 C 1, откуда

  BAC  =  

  B 1 A 1 C 1.


Задачи

Лабораторные
Электротехника
Ядерная энергетика
История искусств
Контрольная работа
Теплотехника