Параллельность прямых

Если две прямые a и b параллельны, то, как и в планиметрии, пишут a || b . В пространстве прямые могут быть размещены так, что они не пересекаются и не параллельны. Этот случай является особым для стереометрии.

Пусть A a (чертеж 2.1.1). Прямая a и точка A определяют единственную плоскость α. В этой плоскости проведем через точку A прямую b , параллельную прямой a . Если существует еще одна прямая c , параллельная a и проходящая через точку A , то по определению параллельных прямых c и a определяют некоторую плоскость. Эта плоскость содержит прямую a и точку A , то есть совпадает с плоскостью α. Следовательно, в плоскости α через точку A проходят две прямые, параллельные прямой a , что противоречит аксиоме о параллельных прямых в планиметрии.

Замечание. Согласно определению, две параллельные прямые лежат в одной плоскости. Легко заметить, что через две параллельные прямые можно провести только одну плоскость.

Теорема 2.2. Признак скрещивающихся прямых.

Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти две прямые скрещиваются.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая пересекает эту плоскость.

Доказательство

Чертеж 2.1.4.

Пусть a || c и b || c (чертеж 2.1.4). Заметим, что прямые a и b по теореме 2.1 не могут пересекаться, то есть если бы у них была одна точка, то через эту точку можно было бы провести единственную прямую, параллельную прямой c , то есть они бы совпадали. Докажем, что прямые a и b лежат в одной плоскости. Пусть A a . Проведем плоскость γ через прямую b и точку A и докажем, что a γ. Если a пересекает плоскость γ, то по лемме 2.1 c пересекает плоскость γ, и b пересекает плоскость γ. Мы пришли к противоречию, так как b γ. Итак, a γ, b γ и a и b не имеют общих точек, следовательно a || b .
Вернуться на главную

Контрольная по математике. Примеры решения задач школьного курса

Параллельность прямых