Инженерная графика
Физика
Алгебра
Матанализ
Черчение
Лекции
Примеры
Начертательная геометрия

Сопромат

Курсовые проект
Контрольная
Задачи
Лабораторные
Практика
Школьный курс
На главную

Контрольная по математике. Примеры решения задач школьного курса Контрольная по математике

Параллельность прямых

Определение 2.1. 

Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Если две прямые a и b параллельны, то, как и в планиметрии, пишут a  ||  b . В пространстве прямые могут быть размещены так, что они не пересекаются и не параллельны. Этот случай является особым для стереометрии.

Определение 2.2. 

Прямые, которые не имеют общих точек и не параллельны, называются скрещивающимися .

Теорема 2.1. 

Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Доказательство

Чертеж 2.1.1.

Пусть A     a (чертеж 2.1.1). Прямая a и точка A определяют единственную плоскость α. В этой плоскости проведем через точку A прямую b , параллельную прямой a . Если существует еще одна прямая c , параллельная a и проходящая через точку A , то по определению параллельных прямых c и a определяют некоторую плоскость. Эта плоскость содержит прямую a и точку A , то есть совпадает с плоскостью α. Следовательно, в плоскости α через точку A проходят две прямые, параллельные прямой a , что противоречит аксиоме о параллельных прямых в планиметрии.

Замечание. Согласно определению, две параллельные прямые лежат в одной плоскости. Легко заметить, что через две параллельные прямые можно провести только одну плоскость.

Теорема 2.2. Признак скрещивающихся прямых.

Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти две прямые скрещиваются.

Чертеж 2.1.2.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая пересекает эту плоскость.

Доказательство

Чертеж 2.1.4.

Пусть a  ||  c и b  ||  c (чертеж 2.1.4). Заметим, что прямые a и b по теореме 2.1 не могут пересекаться, то есть если бы у них была одна точка, то через эту точку можно было бы провести единственную прямую, параллельную прямой c , то есть они бы совпадали. Докажем, что прямые a и b лежат в одной плоскости. Пусть A     a . Проведем плоскость γ через прямую b и точку A и докажем, что a    γ. Если a пересекает плоскость γ, то по лемме 2.1 c пересекает плоскость γ, и b пересекает плоскость γ. Мы пришли к противоречию, так как b    γ. Итак, a    γ, b    γ и a и b не имеют общих точек, следовательно a  ||  b .

Задачи

Ядерная энергетика