Инженерная графика
Физика
Алгебра
Матанализ
Черчение
Лекции
Примеры
Начертательная геометрия

Сопромат

Курсовые проект
Контрольная
Задачи
Лабораторные
Практика
Школьный курс
На главную

Контрольная по математике. Примеры решения задач школьного курса Контрольная по математике

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Высотой параллелограмма , проведенной к данной его стороне, называется перпендикуляр, опущенный из произвольной точки противолежащей стороны к прямой, содержащей данную сторону.

Признаки параллелограмма.

Теорема 7.1. 

Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Пусть ABCD – данный четырехугольник. По условию AO  =  OC ,  BO  =  OD . Так как углы ( AOB ) и ( COD ) равны как вертикальные, то по теореме 4.1 треугольник AOB равен треугольнику COD , и, следовательно, углы ( OAB ) и ( OCD ) равны. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых ( AB ) и ( CD ) и секущей ( AC ) и по теореме 3.2 прямые ( AB ) и ( CD ) параллельны. Аналогично из равенства треугольников AOD и COB следует равенство углов ( OAD ) и ( OCB ) и по теореме 3.2 – параллельность прямых ( AD ) и ( BC ). Из полученных результатов следует, что четырехугольник ABCD – параллелограмм. Теорема доказана.

Теорема  7.2. 

Если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Пусть ABCD – данный четырехугольник и ( AB ) || ( CD ),  AB  =  CD .

Проведем диагональ AC . Получившиеся треугольники ABC и ADC равны. Действительно, стороны AB и CD равны по условию, сторона AC – общая, углы ACD и BAC равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC . Из равенства треугольников следует равенство углов CAD и ACB . Данные углы являются внутренними накрест лежащими при прямых BC и AD и секущей AC . По теореме 3.2 прямые BC и AD параллельны. Следовательно, четырехугольник ABCD параллелограмм по определению. Теорема доказана.

Теорема 7.3. 

Если у четырехугольника противолежащие стороны попарно равны, такой четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Пусть ABCD – данный четырехугольник, и AB  =  CD , BC  =  AD .

Проведем диагональ AC . Получившиеся треугольники ABC и CDA равны по трем сторонам. Действительно, AB  =  CD , BC  =  AD по условию, а сторона AC – общая. Тогда BCA  =  CAD и BAC  =  ACD . Первые два угла являются внутренними накрест лежащими при прямых BC и AD и секущей AC , а вторая пара – при прямых AB и CD и секущей AC . Из равенства внутренних накрест лежащих углов по теореме 3.2 следует параллельность соответствующих прямых, а именно: из равенства углов BCA и CAD следует параллельность прямых BC и AD , а из равенства углов BAC и ACD – параллельность прямых AB и CD . Тогда по определению четырехугольник ABCD – параллелограмм.

Теорема 7.4. 

Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, такой четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Пусть ABCD – данный четырехугольник, и B  =  D , A  =  C . Проведем диагональ AC .

Сумма углов четырехугольника равна сумме углов треугольника ABC и треугольника ACD . Так как сумма углов каждого треугольника – 180°, то A  +  B  +  C  +  D  = 360°. С учетом условия получаем, что A  + D  = 180° и C  +  D  = 180°.

Углы A и D являются внутренними односторонними при прямых AB и CD и секущей AD , и, так как их сумма равна 180°, то по следствию 3.2 прямые AB и CD – параллельны. Аналогично углы C и D являются внутренними односторонними при прямых BC и AD и секущей CD , а сумма их равна 180°, и, следовательно, прямые BC  и AD – параллельны. Таким образом, четырехугольник ABCD – параллелограмм по определению, что и требовалось доказать.

Свойствa параллелограмма.

Теорема 7.5. 

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пресечения делятся пополам.

Доказательство

Пусть ABCD – данный параллелограмм. По определению ( AB ) || ( CD ) и ( AD ) || ( BC ). Пусть O – середина диагонали BD и на луче, дополняющем луч OA , отложен отрезок OC 1, равный отрезку OA . По теореме 7.1 получившийся четырехугольник ABC 1 D – параллелограмм, и, следовательно, ( BC 1 ) || ( AD ) и ( AB ) || ( C 1 D ). С учетом условия – ( BC ) || ( AD ) и ( AB ) || ( CD ). В соответствии с теоремой 3.3 ( BC ) = ( BC 1 ) и ( DC ) = ( DC 1 ). Поэтому точки C и C 1 совпадают. Следовательно, совпадают параллелограммы ABCD и ABC 1 D . Отсюда AO  =  OC и BO  =  OD . Теорема доказана.

Следствие 7.1. 

Параллелограмм – выпуклый четырехугольник.

Теорема 7.6. 

У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Доказательство

Пусть ABCD – данный параллелограмм, т.е. ( AB ) || ( CD ) и ( BC ) || ( AD ) и O – точка пересечения диагоналей. Тогда AO  =  OC и BO  =  OD . Поскольку углы ( AOB ) и ( COD ) равны как вертикальные, то по теореме 4.1 треугольники AOB и COD равны, и, как следствие, AB  =  CD . Аналогично из равенства углов ( AOD ) и ( COB ) как вертикальных и равенства треугольников BOC и DOA следует равенство сторон AD и BC .

В силу доказанного в треугольниках BAD ,  DCB   AB  =  DC ,  AD  =  BC и BD – общая сторона и по теореме 4.8 Δ  BAD  = Δ  DCB . Тогда BCD  =  BAD . Аналогично из равенства треугольников ABC и CDA следует равенство углов ( ABC ) и ( CDA ). Теорема доказана.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство прямоугольника задается следующей теоремой:

Теорема  7.7. 

Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство

Пусть ABCD – данный прямоугольник. Прямоугольные треугольники BAD и ABC р S="proof">


Задачи

Лабораторные
Электротехника
Ядерная энергетика
История искусств
Контрольная работа
Теплотехника