Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Дугой окружности , соответствующей центральному углу, называется часть окружности, расположенная внутри центрального угла.
Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла. Угол называется вписанным в окружность, если вершина его лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Говорят, что вписанный угол опирается на ту дугу окружности , которая не содержит вершину вписанного угла. Так же говорят, что вписанный угол опирается на хорду, соединяющую точки пересечения окружности со сторонами угла.
Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром или медиатриссой .
Серединный перпендикуляр является ГМТ, равноудаленных от концов отрезка.
Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются.
Пусть ABC – треугольник, а a и b
– серединные перпендикуляры к его сторонам AC и
BC . Допустим, прямые a и b не пересекаются,
то есть – параллельны. Прямая AC 
a , BC
b и, следовательно, ( BC )
a , так как a || b .
Таким образом, ( AC )
a и ( BC )
a , и, значит, ( AC ) || (
BC ). Но это неверно. Прямые AC и BC пересекаются
в точке C . Полученное противоречие доказывает теорему.
Окружность называется описанной около треугольника , если она проходит через все его вершины.
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Пусть a и b – серединные перпендикуляры к сторонам AC и BC треугольника ABC , а точка O – точка их пересечения. Из свойств серединного перпендикуляра AO = OC = OB . Следовательно, точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB . Таким образом, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Кроме того, точка пересечения серединных перпендикуляров равноудалена от вершин треугольника. Отсюда, по определению, центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Теорема доказана.
Окружность называется вписанной в треугольник , если она касается всех его сторон.
Для определения центра вписанной в треугольник окружности пользуются свойством биссектрисы угла.
Биссектриса угла является ГМТ, равноудаленных от его сторон.
Пусть луч c с началом в точке O является
биссектрисой угла, образованного лучами a и b .
Пусть C – произвольная точка биссектрисы. Опустим перпендикуляры
к сторонам a и b угла из точки C ,
и пусть A и B соответственно основания этих перпендикуляров.
Треугольники OBC и OAC равны. Действительно 
BOC =
AOC , так как [ OC ) – биссектриса, углы при вершинах
A и B прямые по построению, сторона OC
общая. Следовательно, CB = CA .
Теперь пусть точка D одинаково удалена от сторон угла O , т. е. DM = DN . Прямоугольные треугольники ODM и ODN равны, так как у них общая гипотенуза OD и равные катеты DM и DN . Значит, Δ DOM = Δ DON , и точка D лежит на биссектрисе угла O .
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.
Пусть окружность ω (
O ; P ) вписана в угол ( ab
) с вершиной A . Пусть B и C –
точки касания окружности прямыми b и a соответственно.
Соединим точки B и C с центром O
окружности. По свойству 6.1 ( OB )
b и ( OC )
a и OB = OC
= R . Таким образом, точка O равноудалена
от сторон угла на расстояние, равное радиусу окружности и по свойству 6.5 принадлежит
биссектрисе и только ей. Пусть теперь AMN – данный треугольник,
а O – центр вписанной в него окружности. По определению окружность
одновременно вписана в каждый угол треугольника и по следствию 6.4 его центр лежит
на биссектрисах его углов. Следовательно, точка O лежит на пересечении
всех трех биссектрис углов треугольника. Теорема доказана.
Градусная мера угла, образованного хордой и касательной к окружности, проведенной через конец хорды, равна половине градусной меры дуги, лежащей в данном плоском угле.
Пусть AB – некоторая хорда окружности ω ( O ; R ), через конец A которой проведена касательная l к окружности .
Соединим точки A
и B с центром O окружности и проведем
в треугольнике AOB высоту OD на сторону
AB . Треугольник AOB – равнобедренный, так как стороны
AO и OB равны радиусу окружности. Поэтому высота,
проведенная к основанию, является одновременно и медианой и биссектрисой. В частности,
Кроме того, OAD = 90°. С другой стороны, (
OA )
l по свойству касательной и, следовательно,
( l , ( AD )) –
OAD = 90°. Сравнивая эти равенства, получаем Теорема
доказана.
Если один из лучей с вершиной в точке P касается окружности в точке C , а другой пересекает окружность в точках A и B , то AP · BP = PC 2. Более коротко: квадрат отрезка касательной к окружности равен произведению отрезка секущей, проведенной из той же точки, на внешнюю ее часть.
Рассмотрим треугольники CAP и BCP . Угол CBP равен углу ACP . Действительно угол CBP – вписанный в окружность и его величина равна половине угловой величины угла CA . С другой стороны угол ACP образован хордой AC и касательной к окружности, проведенной через конец C хорды AC . По теореме 6.7 градусная мера угла ACP так же равна половине градусной меры дуги CA . Так как сумма углов любого треугольника – 180°, то углы BCP и CAP данных треугольников так же равны. Следовательно, по следствию 5.1 имеем Из последнего равенства получаем
Градусная мера угла между хордами равна полусумме градусных мер дуг, принадлежащих данному плоскому углу, и соответствующему вертикальному углу.
Пусть точка A лежит в круге, [ AC ) и [ AE ) – стороны угла, а точки D и B – точки пересечения с окружностью лучей, дополнительных к [ AC ) и [ AE ) соответственно. Угол CAE является внешним углом треугольника ABC и, следовательно, его величина равна сумме величин несмежных с ним углов треугольника, т.е.
CAE =
BCA +
ABC . Но углы BCA и ABC – вписанные в окружность и равны половине величины дуги
CmE и BnD , соответственно. Поэтому Теорема доказана.
Градусная мера угла между секущими равна полуразности дуг, лежащих в данном плоском угле.
Пусть A – точка, лежащая вне круга, [ AB ) и [ AD ) – стороны угла с вершиной в точке A и луч AB пересекает окружность в точках B и E , а луч AD – в точках C и D . Соединим точки B и C отрезком. В полученном треугольнике ABC угол BCD – внешний и равен сумме углов BAD и ABC .