Контрольная по математике. Примеры решения задач школьного курса Контрольная по математике

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, т.е.

Доказательство

Пусть ABC – треугольник со сторонами a b c и соответственно противолежащими им углами α, β, γ. Докажем, что

Опустим из вершины B высоту BD на прямую ( AC ).

Пусть все углы Δ  ABC острые. Тогда BD  =  a  sin γ из прямоугольного треугольника BCD . Аналогично из треугольника ABD BD  =  c  sin α. Приравнивая правые части, получаем a  sin γ =  c  sin α или Аналогично, если опустить высоту CE из вершины C на прямую ( AB ), получим CE  =  b  sin α из Δ  ACE , CE  =  a  sin β из Δ  BCE . И, сравнивая эти равенства, имеем

Пусть один из углов (например, γ) тупой. Тогда BD  =  a  sin(180° – γ ) =  a  sin γ из Δ  BCD , BD  =  c  sin α из Δ  ABD . Отсюда a  sin γ =  c  sin α или Далее, опуская высоту CE из вершины C на прямую ( AB ) и рассуждая аналогично пункту 1Следствие 5.1. 

Пусть даны два треугольника ABC и A 1 B 1 C 1 и углы при вершинах A , B и C одного треугольника равны углам при вершинах A 1, B 1, C 1 соответственно, другого треугольника. Тогда отношения длин сторон этих треугольников, лежащих против равных углов равны, то есть

Доказательство

Действительно из Δ  ABC по теореме синусов имеем Аналогично из Δ  A 1 B 1 C 1 получим

Пусть α и β – угловые величины двух острых углов, причем α < β. Тогда sin α < sin β

Доказательство

Рисунок 5.2.4.

Отложим от луча AB в одну полуплоскость углы BAC и BAD так, что

Следствие 5.2. 

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.

Доказательство

Если все углы треугольника – острые, то этот факт следует из результата леммы 5.1 и теоремы 5.4. Если же один из углов треугольника, например, для определенности γ – тупой, то γ = 180° – (α + β), но sin (180° – (α + β)) = sin (α + β) и по лемме 5.2 sin (α + β) = sin γ > α и sin γ > β. B сново утверждение следует из теоремы  5.4.

Теорема 5.5. Неравенство треугольника.

Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей.

Доказательство

Пусть A B C – три данные точки. Если две точки из трех или все три совпадают, то утверждение теоремы очевидно. Если все три точки различны, но лежат на одной прямой, одна из них лежит между двумя другими без ограничения общности, например, B . Тогда AB  +  BC  =  AC . Отсюда AB  <  AC  <  AC  +  BC BC  <  AC  <  AC  + BC , AC  =  AB  +  BC и утверждение теоремы верно.

Пусть точки A B и C не лежат на одной прямой. Докажем, что AB  <  AC  +  BC . Опустим перпендикуляр CD на прямую AB .. Точки A B D лежат на данной прямой и по доказанному AB  ≤  AD  + BD . Но AD  <  AC и BD  <  BC по построению и свойству наклонной. Отсюда AB  <  AC  +  BC . Теорема доказана.

Рисунок 5.2.6.

Следствие 5.3. 

В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.


Вернуться на главную