Контрольная по математике. Примеры решения задач школьного курса Контрольная по математике

Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника

Под косинусом тупого угла α (90° < α < 180°) будем понимать значение косинуса смежного с ним угла, взятого со знаком минус. Косинус прямого угла будем считать равным 0.

Под синусом тупого угла будем понимать синус смежного угла. Синус прямого угла будем считать равным 1.

Из этих определений следует, что для любых углов, таких, что 0 < α < 180° справедливы равенства sin α = sin (180° – α) и cos α = –cos (180° – α).

Действительно, если α = 90°, то имеем верные равенства. sin 90° = sin (180° – 90°) и cos 90° = 0 = –cos (180° – 90°).

Если α – острый угол, то 180° – α = β, 90° < α < 180° – тупой угол. Тогда по определению sin β = sin (180° – β) или sin (180° – α) = sin (180° – (180° – α)) = sin α. cos β = –cos (180° – β) или cos (180° – α) = –cos (180° – (180° – α)) = –cos α.

Отсюда получаем cos α = cos (180° – α).

Наконец, если α (90° < α < 180°) – тупой угол, то равенства видны по определению.

Теорема 5.3. 

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательство

Пусть угол α – между двумя сторонами AB и AC треугольника ABC равен 90°. Тогда треугольник ABC прямоугольный и по теореме Пифагора имеем BC 2  =  AB 2  +  AC 2. Но с другой стороны, так как cos 90° = 0 AB 2  +  AC 2  =  AB 2  +  AC 2  – 2 AB  ·  AC  cos 90° =  BC 2. Теорема верна.

На рис. 5.2.1 показаны три возможных случая, связанных с величиной угла α между известными сторонами. В первых двух случаях угол α – острый, в третьем – тупой. Пусть ABC – данный треугольник. Докажем, что BC 2  =  AB 2  +  AC 2  – 2 AB  ·  AC  cos α. Опустим из вершины B высоту BD на прямую ( AC ). Рассмотрим два возможных случая.

    Пусть угол α – острый. Тогда, либо точка D лежит между точками A и C , либо точка C – между точками A и D . Поэтому справедливы следующие равенства: AB 2  =  AD 2  +  BD 2 ; BC 2  =  CD 2  +  BD 2, AD  =  AB  cos α, CD  = | AC  –  AD |. Из первых двух равенств, исключая BD 2, получим BC 2  =  AB 2  +  CD 2  –  AD 2. Подставляя из последнего равенства выражение для CD , имеем: BC 2  =  AB 2  + (| AC  –  AD |) 2  –  AD 2  =  AB 2  +  AC 2  – 2 AC  ·  AD . С учетом третьего равенства окончательно получаем требуемое равенство: BC 2  =  AB 2  +  AC 2  – 2 AB  ·  AC  cos α.

    Пусть угол α – тупой. Тогда точка A лежит между точками D и C . Поэтому справедливы равенства: AB 2  =  AD 2  +  BD 2 BC 2  =  CD 2  +  BD 2, AD  =  AB  cos(180° – α), CD  =  AC  +  AD . Имеем: BC 2  =  AB 2  +  CD 2  –  AD 2. С учетом последнего равенства BC 2  =  AB 2  + ( AC  +  AD ) 2  –  AD 2  =  AB 2  +  AC 2  + 2 AC  ·  AD  =  AB 2  +  AC 2  + 2 AB  ·  AC  · cos (180° – α).

Так как угол α – тупой , то cos α = –cos (180° – α) и, с учетом этого, окончательно получаем BC 2  =  AB 2  +  AC 2  – 2 AB  ·  AC  cos α. Теорема доказана.

Рисунок 5.2.1.

Рисунок 5.2.2.


Вернуться на главную