Инженерная графика
Физика
Алгебра
Матанализ
Черчение
Лекции
Примеры
Начертательная геометрия

Сопромат

Курсовые проект
Контрольная
Задачи
Лабораторные
Практика
Школьный курс
На главную

Контрольная по математике. Примеры решения задач школьного курса Контрольная по математике

Прямоугольный треугольник

Аксиомы 1.4 и 2.1 позволяли приписывать отрезкам и углам числа, равные их мерам, то есть измерять отрезки и углы. До сих пор не было связи между величинами углов и длинами отрезков. С введением треугольников появляется возможность связать величины градусных мер углов треугольника и длин его сторон. Рассмотрим соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника .

Рисунок 5.1.1.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Пусть угол ( BAC ) – искомый острый угол. Так, например, для угла BAC (рис.  5.1.1)

Теорема 5.1. 

Косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.

Доказательство

Пусть ABC и A 1 B 1 C 1 – два прямоугольных треугольника с одним и тем же углом при вершинах A и A 1, равным α . Построим треугольник AB 2 C 2, равный треугольнику A 1 B 1 C 1, как показано на рис. 5.1.2. Это возможно по аксиоме 4.1. Так как углы A и A 1 равны, то B 2 лежит на прямой AB . Прямые BC и B 2 C 2 перпендикулярны прямой AC , и по следствию 3.1 они параллельны. По теореме 4.13

Но по построению AC  =  A 1 C 1 AB 2  =  A 1 B 1, следовательно,

Что и требовалось доказать.

Теорема 5.2. 

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

На рисунке 5.1.3 изображен прямоугольный треугольник. BC и AC – его катеты, AB – гипотенуза. По теореме BC AC 2 = AB 2.

Доказательство

Пусть ABC – данный прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине C .

Рисунок 5.1.3.

Проведем высоту CD из вершины C . По определению из треугольника ACD и

любая наклонная больше перпендикуляра,

равные наклонные имеют равные проекции,

из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. По определению

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему

Из данных определений получаем следующие соотношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника: если α – острый угол прямоугольного треугольника , то

катет, противолежащий углу α , равен произведению гипотенузы на sin α;

катет, прилежащий к углу α , равен произведению гипотенузы на cos α;

катет, противолежащий углу α , равен произведению второго катета на tg α.

Задачи

Ядерная энергетика