Контрольная по математике. Примеры решения задач школьного курса Контрольная по математике

Пропорциональные отрезки и средняя линия треугольника

Лемма 4.1. 

Пусть пара параллельных прямых AB и CD пересекают соответственно другую пару параллельных прямых AC и BD . Тогда отрезок AC равен отрезку BD , а отрезок AB равен отрезку CD .

Рисунок 4.6.1.

Доказательство

Проведем прямую BC . Угл

ы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC , а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC . Тогда по первому признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC  =  BD и AB  =  CD . Лемма доказана.

Теорема 4.11. 

Теорема Фалеса . Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство

Рисунок 4.6.2.

Пусть – заданный угол, а Доказательство

Пусть [ DE ] – средняя линия в треугольнике ABC , т.е. AE  =  EC , CD  =  BD . Проведем через точку D прямую a , параллельную стороне AB . По теореме 4.11 прямая a пересекает сторону AC в ее середине и, следовательно, содержит среднюю линию DE . Значит, средняя линия DE параллельна стороне AB . Проведем среднюю линию DF . Она параллельна стороне AC . Тогда по лемме 4.1 отрезок ED равен отрезку AF и равен половине отрезка AB . Теорема доказана.

Рисунок 4.6.3.

Теорема 4.13. 

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Доказательство

Пусть стороны угла O пересекаются параллельными прямыми в точках B , D и A , C соответственно.

Теоремой утверждается, что

Разделим отрезок OD на n равных частей. Пусть δ 1 – длина отрезка деления. Тогда OD  =  n  · δ 1.

Возможны два случая.

Существует такое n , при котором C – точка деления. То есть существует m  <  n такое, что OC  =  m  δ 1. Проведем через точки деления отрезка OD прямые, параллельные прямой BD . По теореме Фалеса эти прямые разбивают отрезок OB   на равные отрезки некоторой длины .

Ни при каком n C не является точкой деления. Допустим, или без ограничения общности


Вернуться на главную