Контрольная по математике. Примеры решения задач школьного курса

Равнобедренный треугольник

Треугольник называется равнобедренным , если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми , а третья сторона – основанием .

Свойства равнобедренного треугольника.

Теорема 4.3. 

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство

Пусть Δ  ABC – равнобедренный с основанием AB . Рассмотрим Δ  BAC . По первому признаку эти треугольники равны. Действительно, AC  =  BC ; BC  =  AC ; C  =  C . Отсюда следует A  =  B как соответствующие углы равных треугольников. Теорема доказана.

Теорема 4.4. Свойство медианы равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Рисунок 4.3.1.

Доказательство

Пусть Δ  ABC – равнобедренный с основанием AB , и CD – медиана, проведенная к основанию. В треугольниках CAD и CBD углы CAD и CBD равны, как углы при основании равнобедренного треугольника (по теореме 4.3), стороны AC и BC равны по определению равнобедренного треугольника, стороны AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB . Отсюда получаем, что Δ  ACD  = Δ  BCD .

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ACD  =  BCD ,  ADC  =  BDC . Из первого равенства следует, что CD – биссектриса. Углы ADC и BDC смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому CD – высота треугольника. Теорема доказана.

Признаки равнобедренного треугольника.

Теорема 4.5. 

Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Доказательство

Пусть Δ  ABC – треугольник, в котором A  =  B . Δ  ABC равен Δ  BAC по второму признаку равенства треугольников. Действительно: AB  =  BA ; B  =  A ; A  =  B . Из равенства треугольников следует равенство соответствующих его сторон: AC  =  BC . Тогда, по определению, Δ  ABC – равнобедренный. Теорема доказана.

Теорема 4.6. 

Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.

Доказательство

В треугольнике ABC проведем медиану BD , которая по условию также является высотой. Прямоугольные треугольники ABD и CBD равны, т. к. катет BD общий, AD  =  CD по построению. Следовательно, гипотенузы этих треугольников равны как соответственные элементы равных треугольников, т. е. AB  =  BC . Теорема доказана.

Теорема 4.7. 

Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рисунок 4.3.2.

Доказательство

Пусть Δ  ABC и Δ  A ₁ B ₁ C ₁ таковы, что AB  =  A ₁ B ₁ ; BC  =  B ₁ C ₁ ; AC  =  A ₁ C ₁. Доказательство от противного.

Пусть треугольники не равны. Отсюда следует, что одновременно. Иначе треугольники были бы равны по первому признаку.

Пусть Δ  A ₁ B ₁ C ₂ – треугольник, равный Δ  ABC , у которого вершина C ₂ лежит в одной полуплоскости с вершиной C ₁ относительно прямой A ₁ B ₁. По предположению вершины C ₁ и C ₂ не совпадают. Пусть D – середина отрезка C ₁ C ₂. Треугольники A ₁ C ₁ C ₂ и B ₁ C ₁ C ₂ – равнобедренные с общим основанием C ₁ C ₂. Поэтому их медианы A ₁ D и B ₁ D являются высотами. Значит, прямые A ₁ D и B ₁ D перпендикулярны прямой C ₁ C ₂. A ₁ D и B ₁ D имеют разные точки A ₁ и B ₁, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C ₁ C ₂ можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Рисунок 4.3.3.