Равнобедренный треугольник

Треугольник называется равнобедренным , если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми , а третья сторона – основанием .

Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB . Рассмотрим Δ BAC . По первому признаку эти треугольники равны. Действительно, AC = BC ; BC = AC ; C = C . Отсюда следует A = B как соответствующие углы равных треугольников. Теорема доказана.

Теорема 4.4. Свойство медианы равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB , и CD – медиана, проведенная к основанию. В треугольниках CAD и CBD углы CAD и CBD равны, как углы при основании равнобедренного треугольника (по теореме 4.3), стороны AC и BC равны по определению равнобедренного треугольника, стороны AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB . Отсюда получаем, что Δ ACD = Δ BCD .

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ACD = BCD , ADC = BDC . Из первого равенства следует, что CD – биссектриса. Углы ADC и BDC смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому CD – высота треугольника. Теорема доказана.

Пусть Δ ABC – треугольник, в котором A = B . Δ ABC равен Δ BAC по второму признаку равенства треугольников. Действительно: AB = BA ; B = A ; A = B . Из равенства треугольников следует равенство соответствующих его сторон: AC = BC . Тогда, по определению, Δ ABC – равнобедренный. Теорема доказана.

В треугольнике ABC проведем медиану BD , которая по условию также является высотой. Прямоугольные треугольники ABD и CBD равны, т. к. катет BD общий, AD = CD по построению. Следовательно, гипотенузы этих треугольников равны как соответственные элементы равных треугольников, т. е. AB = BC . Теорема доказана.

Теорема 4.7.

Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рисунок 4.3.2.

Пусть Δ ABC и Δ A ₁ B ₁ C ₁ таковы, что AB = A ₁ B ₁ ; BC = B ₁ C ₁ ; AC = A ₁ C ₁. Доказательство от противного.

Пусть треугольники не равны. Отсюда следует, что

одновременно. Иначе треугольники были бы равны по первому признаку.

Пусть Δ A ₁ B ₁ C ₂ – треугольник, равный Δ ABC , у которого вершина C ₂ лежит в одной полуплоскости с вершиной C ₁ относительно прямой A ₁ B ₁. По предположению вершины C ₁ и C ₂ не совпадают. Пусть D – середина отрезка C ₁ C ₂. Треугольники A ₁ C ₁ C ₂ и B ₁ C ₁ C ₂ – равнобедренные с общим основанием C ₁ C ₂. Поэтому их медианы A ₁ D и B ₁ D являются высотами. Значит, прямые A ₁ D и B ₁ D перпендикулярны прямой C ₁ C ₂. A ₁ D и B ₁ D имеют разные точки A ₁ и B ₁, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C ₁ C ₂ можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Контрольная по математике. Примеры решения задач школьного курса