Контрольная по математике. Примеры решения задач школьного курса Контрольная по математике

Различные виды углов

Два угла называются смежными , если у них одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными лучами.

Рисунок 2.3.1.

Легко доказать следующие теоремы о смежных углах:

Угол называется прямым , если его величина равна 90°. Угол, меньший 90°, называется острым ; больший 90°, но меньший 180° – тупым .

Рисунок 2.3.2.

Два угла называются вертикальными , если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого угла.

Рисунок 2.3.3.

Теорема о сумме смежных углов позволяет доказать, что вертикальные углы равны.

Пусть прямые a и b пересекаются в точке A . Точка A разбивает каждую прямую на два взаимно дополнительных луча с вершиной в точке A .

Определение 2.1. 

Углом между прямыми a и b называется меньший из углов с вершиной в точке A сторонами которого являются пара лучей, принадлежащих разным прямым.

Две прямые называются перпендикулярными , если они пересекаются под прямым углом.

Для обозначения перпендикулярности прямых a и b , будем пользоваться символом

Теорема 2.1. 

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую и только одну.

Доказательство

Пусть a – данная прямая, а точка A принадлежит прямой. Кроме того, [ AB ) – один из лучей прямой a . Тогда от луча AB можно отложить угол BAC , равный 90° (аксиома 2.2.). По определению прямая AC     a (рис. 2.3.4).

Рисунок 2.3.4.

Докажем, что такая прямая AC единственная. Допустим, что существует другая прямая, проходящая через точку A , не совпадающая с прямой AC и перпендикулярная к прямой a . Пусть D – какая-либо точка этой прямой, лежащая в той же полуплоскости от a , что и точка С. Тогда   BAC  =    BAD  = 90°. Но это противоречит аксиоме 2.2, по которой от прямой в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Теорема доказана.

Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярой данной, имеющий одним из концов их точку пересечения. Этот конец называется основанием перпендикуляра .

Рисунок 2.3.5.

Биссектрисой называется луч, проходящий между его сторонами и делящий угол пополам.

Рисунок 2.3.6.


Вернуться на главную