Инженерная графика
Физика
Алгебра
Матанализ
Черчение
Лекции
Примеры
Начертательная геометрия

Сопромат

Курсовые проект
Контрольная
Задачи
Лабораторные
Практика
Школьный курс
На главную

Контрольная по математике. Примеры решения задач школьного курса Контрольная по математике

Решение систем уравнений и неравенств

Система уравнений с двумя переменными.

Пусть задана система уравнений Ее решением является совокупность пар чисел ( x i y i ), подстановка которых в каждое из уравнений превращает его в верное равенство. Построим на координатной плоскости кривые, задаваемые уравнениями f  ( x y ) = 0 и g  ( x y ) = 0. Тогда можно сказать, что геометрически решением системы уравнений является совокупность всех точек M i ( x i y i ), в которых пересекаются кривые, задаваемые этими уравнениями.

Если кривые не пересекаются, то система уравнений решений не имеет. В этом случае говорят, что система несовместна.

Систему геометрически можно представить как совокупность точек, в которых пересекаются три кривые f  ( x y ) = 0, g  ( x y ) = 0 и h  ( x y ) = 0. Если не существует точки, в которой пересекаются все три кривые, то система также несовместна.

Аналогичным образом уравнение f  ( x y z ) = 0 задает поверхность в трехмерной декартовой системе координат. Геометрически решением системы уравнений будет совокупность координат точек M i  ( x i y i z i ), в которых пересекаются поверхности, задаваемые этими уравнениями.

Так, уравнения x 2  +  y 2  +  z 2  = 1, y  = 0, z  = 0 задают в пространстве сферу единичного радиуса с центром в начале координат и две координатные плоскости, перпендикулярные соответственно оси ординат и оси аппликат. Плоскость z  = 0 пересекает сферу по окружности x 2  +  y 2  = 1, лежащей в плоскости z  = 0. Плоскость y  = 0 пересекает эту окружность в двух точках с координатами M 1  (–1; 0; 0) и M 2  (1; 0; 0). Таким образом, решением системы уравнений являются две тройки чисел (±1; 0; 0).

 

 

График 2.5.3.3.

Иногда при решении задач графики могут ввести в заблуждение. Так, на эскизе кажется, что графики функций y  = (1/16) x и y  = log 1/16   x пересекаются только в одной точке, лежащей на биссектрисе первого координатного угла. И только при более внимательном рассмотрении у уравнения (1/16) x  = log 1/16   x находятся еще два корня x  = 1/2 и x  = 1/4. Увеличьте масштаб графика, чтобы убедиться в этом.

Кривая f  ( x y ) = 0 делит координатную плоскость на несколько областей, внутри каждой из которых функция f сохраняет знак. Для решения неравенства f  ( x y ) > 0 графическим методом необходимо в каждой из таких областей взять пробную точку и вычислить ее знак, после чего отобрать области, в которых функция f принимает положительные значения. Присоединяя к полученному решению саму кривую, получим решение неравенства f  ( x y ) ≥ 0.

Чтобы решить графически систему нужно изобразить на координатной плоскости решения каждого из неравенств f  ( x y ) > 0, g  ( x y ) > 0, а затем найти их пересечение. Аналогичным образом поступают, если неравенств больше двух.


Как поднять дом Деревянный.

Задачи

Лабораторные
Электротехника
Ядерная энергетика
История искусств
Контрольная работа
Теплотехника