Инженерная графика
Физика
Алгебра
Матанализ
Черчение
Лекции
Примеры
Начертательная геометрия

Сопромат

Курсовые проект
Контрольная
Задачи
Лабораторные
Практика
Школьный курс
На главную

Контрольная по математике. Примеры решения задач школьного курса Контрольная по математике

Геометрическая прогрессия

Числовую последовательность { b n }, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q  ≠ 0, называют геометрической прогрессией :

b n  + 1  =  b n  ·  q .

Важно отметить, что число q , которое называется знаменателем прогрессии , отлично от нуля. Так как то Верна и обратная теорема.

Последовательность { b n } является геометрической тогда и только тогда, когда для любого n  > 1 выполняется соотношение где при всех n . Тем не менее, важно понимать, что формула справедлива только для геометрической прогрессии с положительными членами, а предыдущее соотношение верно для произвольной геометрической прогрессии.

Каждый член геометрической прогрессии { b n } определяется формулой b n  =  b 1  ·  q n  – 1.

Доказательство

Докажем это пользуясь методом математической индукции. Легко убедиться, что при n  = 1 данная формула верна. Пусть эта формула верна для n  =  k . Докажем ее справедливость для n  =  k  + 1. Имеем b k  + 1  =  b k  ·  q  =  b 1  ·  q k  – 1  ·  q  =  b 1  ·  q k . Теорема доказана.

Модель 1.2. Банковский счет.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии { b n } равна при q  ≠ 1 и S n  =  n  ·  b 1 при q  = 1.

Эти формулы также доказываются методом математической индукции. Докажите их самостоятельно.

При | q | < 1 , поэтому в этом случае геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей . Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число , где S n – сумма n первых членов геометрической прогрессии.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (| q | < 1) равна

Для доказательства достаточно заметить, что В предпоследнем переходе использовались свойства пределов последовательностей.

Модель 1.3. Ахиллес и черепаха.

 

 

 

 

 


Задачи

Лабораторные
Электротехника
Ядерная энергетика
История искусств
Контрольная работа
Теплотехника