Инженерная графика
Физика
Алгебра
Матанализ
Черчение
Лекции
Примеры
Начертательная геометрия

Сопромат

Курсовые проект
Контрольная
Задачи
Лабораторные
Практика
Школьный курс
На главную

Контрольная по математике. Примеры решения задач школьного курса Контрольная по математике

Решение неравенств

Пусть задано неравенство f  ( x ) > 0 (очевидно, что все неравенства вида h  ( x ) >  g  ( x ) сводятся к рассматриваемому переносом функции g  ( x ) в левую часть). Его решением является совокупность всех точек числовой оси, удовлетворяющих данному неравенству.

Построим график функции y  =  f  ( x ). Геометрически решениями неравенства будут абсциссы всех точек графика, лежащих над осью OX . Если весь график находится под осью OX , то неравенство решений не имеет (таковым, в частности, является неравенство – x 2  > 0).

Решением нестрогого неравенства f  ( x ) ≥ 0 будут все точки графика y  =  f  ( x ), лежащие на самой оси OX или выше нее. Решения неравенств f  ( x ) < 0 и f  ( x ) ≤ 0 ищутся аналогичным образом.

Геометрической интерпретацией решения неравенства f  ( x ) >  g  ( x ) будут абсциссы всех точек графика y  =  f  ( x ), лежащих выше соответствующих точек графика y  =  g  ( x ) на пересечении областей определения функций f и g .

Модель 2.19. Решение неравенств.

При решении неравенств, содержащих многочлены, часто используют метод интервалов . Суть его состоит в следующем. Пусть в неравенстве P  ( x ) > 0

P  ( x ) – многочлен степени n и пусть x 1, …, x m – действительные корни этого многочлена кратности α 1,..., α m соответственно, расположенные в порядке возрастания. Разложим многочлен на множители: где Q  ( x ) – многочлен, не имеющий действительных корней. График функции y  =  P  ( x ) пересекается с осью абсцисс в m точках x 1,..., x m ; в промежутках между этими точками функция сохраняет знак. На самом правом промежутке ( x m ; +∞) выполняется неравенство P  ( x ) > 0, если a  > 0, и P  ( x ) < 0, если a  < 0.

Начертим числовую ось OX и расставим на ней корни x i . Определим знак самого правого промежутка ( x m ; +∞). Далее движемся по числовой оси справа налево. При переходе через корень x i знак функции сохраняется, если корень четной кратности (то есть α i  = 2 k i ), и изменяется на противоположный, если кратность корня нечетная (α i  = 2 k i  + 1). На чертеже ставим над каждым промежутком ( x i x i  + 1) знак "+", если многочлен принимает на этом промежутке положительные значения, и "–", если он принимает отрицательные значения. Таким образом, получаем решение исходного неравенства как совокупность интервалов ( x i x i  + 1), над которыми поставлен знак "+".

Аналогичным образом решается и неравенство P  ( x ) < 0.

Модель 2.20. Метод интервалов.

Нестрогие неравенства вида P  ( x ) ≥ 0 решаются тем же способом. Их решениями являются совокупность интервалов ( x i x i  + 1), над которыми поставлен знак "+", и корней многочлена { x i }.

Решение дробно-рациональных неравенств , где Q 1  ( x ) и Q 2  ( x ) – многочлены, сводится к решению неравенства P  ( x ) > 0, где P  ( x ) =  Q 1  ( x ) ·  Q 2  ( x ). Это следует из того, что и произведение, и отношение двух чисел положительно тогда и только тогда, когда эти числа отличны от нуля и одного знака. Нестрогое неравенство равносильно совокупности


Задачи

Лабораторные
Электротехника
Ядерная энергетика
История искусств
Контрольная работа
Теплотехника