Инженерная графика
Физика
Алгебра
Матанализ
Черчение
Лекции
Примеры
Начертательная геометрия

Сопромат

Курсовые проект
Контрольная
Задачи
Лабораторные
Практика
Школьный курс
На главную

Контрольная по математике. Примеры решения задач школьного курса Контрольная по математике

Гиперболические функции

Функция называется гиперболическим синусом . Функция называется гиперболическим косинусом .

Подобно тому, как тригонометрические синус и косинус являются координатами точки на координатной окружности, гиперболические синус и косинус являются координатами точки на гиперболе.

Эти функции определены и непрерывны на всей числовой оси. Гиперболический синус является нечетной функцией, возрастающей на всей числовой оси. Гиперболический косинус является четной функцией, убывающей на промежутке (–∞; 0) и возрастающей на промежутке (0; +∞). Точка (0; 1) является минимумом этой функции.

График 2.4.5.1.

По аналогии с тригонометрическими функциями определены гиперболические тангенс и котангенс :

Тангенс определен на всей числовой оси, котангенс – при всех x  ≠ 0 ( ). Обе функции непрерывны на всей области определения, нечетны и имеют горизонтальные асимптоты y  = –1 (при x  → –∞) и y  = 1 (при x  → +∞).

График 2.4.5.2.

Приведем некоторые формулы, связанные с гиперболическими функциями.

sh  x + ch  x e x ch 2   x  – sh 2   x  = 1 ch 2 x  = ch 2   x  + sh 2   x sh 2 x = 2 sh  x ch  x sh ( x  +  y ) = sh  x  ch  y  + ch  x  sh  y ch ( x  +  y ) = ch  x  ch  y  + sh  x  sh  y

Функции, обратные гиперболическим синусу и тангенсу, определены и непрерывны на всей числовой оси. Они обозначаются соответственно arsh  x и arth  x . У гиперболического косинуса определены сразу две обратные функции: arch x при x  ≤ 0 и arch + x при x  ≥ 0.

График 2.4.5.3. График 2.4.5.4.


В заключение приведем формулы для обратных гиперболических функций:

| x | < 1, x  ≥ 1, x  ≥ 1.


Задачи

Лабораторные
Электротехника
Ядерная энергетика
История искусств
Контрольная работа
Теплотехника