Контрольная по математике. Примеры решения задач школьного курса Контрольная по математике

Степенная функция

Степенная функция с натуральным показателем непрерывна на множестве действительных чисел. Если n нечетное, то эта функция строго возрастает и потому обратима. Обратной к ней является функция Степенная функция с четным показателем необратима. Однако если сузить ее область определения до области неотрицательных чисел, то обратной к ней функцией также будет x  ≥ 0. На множестве (–∞; 0) функцией, обратной к функции ( n – натуральное четное число) будет

График 2.4.2.1.

Итак, если x  > 0, то при любом натуральном n функция обратима, а обратная к ней функция обозначается как или Функция также определена и непрерывна на множестве положительных чисел.

Пусть Тогда степенной функцией с рациональным показателем называют функцию

Эта функция определена на множестве чисел x  > 0 и непрерывна на всей области определения, строго возрастает при r  > 0 ( ) и строго убывает при r  < 0 ( ). Перечислим некоторые свойства рациональных степеней.

a  > 0 a r  > 1 a  > 1,  r  > 0 или 0 <  a  < 1, r  < 0 a r  < 1 a  > 1, r  < 0 или 0 <  a  < 1, r  > 0 a  > 0 a  > 0 a  > 1, r 1  >  r 2 0 <  a  < 1, r 1  >  r 2 Таблица 2.4.2.1.

Степенная функция с вещественным показателем при x  > 0 определяется формулой: x α  =  e α ln  x (см. определение логарифма). Эта функция непрерывна и строго возрастает (при α > 0) или строго убывает (при α < 0) на всей области определения. Ее областью значений являются все положительные числа.


Вернуться на главную