Контрольная по математике. Примеры решения задач школьного курса

Арифметическая прогрессия

Числовую последовательность { a _n }, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d , называют арифметической прогрессией . Число d называется разностью арифметической прогрессии : a _{n  + 1}  =  a _n  +  d .

Так как a _{n  – 1}  =  a _n  –  d , то a _{n  + 1}  +  a _{n  – 1}  = 2 a _n . Верно и обратное.

Последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда для любого n  > 1 выполняется рекуррентное соотношение

Формула общего члена арифметической прогрессии { a _n } такова: a _n  =  a ₁  + ( n  – 1) ·  d .

Доказательство

Докажем это пользуясь методом математической индукции. Легко убедиться, что для n  = 1 данная формула верна. Пусть эта формула верна для n  =  k . Докажем ее справедливость для n  =  k  + 1. Имеем a _{k  + 1}  =  a _k  +  d  =  a ₁  + ( k  – 1) ·  d  +  d  =  a ₁  +  k  ·  d . Теорема доказана. Выпуклость функции Асимптоты графика функции Дифференциальное и интегральное исчисление

Модель 1.1. Растущее дерево.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии { a _n } равна

Обе формулы легко доказать, используя метод математической индукции. Выполните это самостоятельно.