Контрольная по математике. Примеры решения задач школьного курса Контрольная по математике

Четность функций

Функция f  ( x ) называется четной , если для любого выполняются равенства: 1) , 2) f  (– x ) =  f  ( x ).

График четной функции на всей области определения симметричен относительно оси OY . Примерами четных функций могут служить y  = cos  x , y  = | x |, y  =  x 2  + | x |.

График 1.3.2.1.

График 1.3.2.2.

Функция f  ( x ) называется нечетной , если для любого выполняются равенства: 1) , 2) f  (– x ) = – f  ( x ).

Иными словами функция называется нечетной, если ее график на всей области определения симметричен относительно начала координат. Примерами нечетных функций являются y  = sin  x , y  =  x 3.

Не следует думать, что любая функция является либо четной, либо нечетной. Так, функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения несимметрична относительно начала координат. Область определения функции y  =  x 3  + 1 охватывает всю числовую ось и поэтому симметрична относительно начала координат, однако f  (–1) ≠  f  (1).

Если область определения функции симметрична относительно начала координат, то эту функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Таковой суммой является функция Первое слагаемое является четной функцией, второе – нечетной.

Модель 1.8. Четные и нечетные функции.

Исследование функций на четность облегчается следующими утверждениями.

 

 


Вернуться на главную