Контрольная по математике. Примеры решения задач школьного курса Контрольная по математике

Уравнения, содержащие модуль

Самый распространённый, а иногда и единственно возможный метод решения уравнений с модулем – раскрытие модуля согласно определению:

Пример  1

Решите уравнение | x – 5| – |2 x + 8| =  –12.

Показать решение

Выражения, стоящие под знаком абсолютной величины, обращаются в нуль при x = –4 и x = 5. Значит, нужно рассмотреть 3 случая:

1) x ≤ –4; 2) –4 <  x ≤ 5; 3) x > 5.

Получим три уравнения, в каждом из которых на неизвестное наложено ограничение. На рисунке схематично показано, какой знак будут иметь подмодульные выражения на каждом из трёх промежутков.

Рисунок 3.1.8.1

    x ≤ –4. В этом случае 2 x + 8 < 0, x – 5 < 0. Следовательно, С учётом этого уравнение принимает вид

    –4 <  x ≤ 5. Этот корень удовлетворяет нужным ограничениям. 3. x > 5. Этот корень не удовлетворяет нужным ограничениям.

Ответ. −25; 3.

Этот метод удобно применять, когда подмодульные выражения довольно просты (линейны), и можно сразу понять, где они обращаются в нуль. Рассмотрим простейшее уравнение с модулем вида | f ( x )| =  g ( x ), (9) где функция f ( x ) проще функции g ( x ). Это уравнение равносильно следующей системе уравнений: Убедиться в справедливости этого утверждения можно, перебрав все возможные варианты.

Если же под модулем стоит функция, найти корни которой затруднительно, то условие равносильности можно переписать так:

Пример 

Решите уравнение 2| x 2 + 2 x – 5| = x – 1.

Показать решение

Этому уравнению соответствуют два уравнения 2( x 2 + 2 x – 5) = x – 1 и 2( x 2 + 2 x – 5) = 1 – x , среди корней которых нужно отобрать удовлетворяющие условию x ≥ 1. Имеем:

1. Корни этого уравнения Ответ.

Пример 

Решите уравнение

Показать решение

Все корни исходного уравнения содержатся среди корней двух уравнений которые можно переписать в виде Ответ. 3.
Вернуться на главную