Инженерная графика
Физика
Алгебра
Матанализ
Черчение
Лекции
Примеры
Начертательная геометрия

Сопромат

Курсовые проект
Контрольная
Задачи
Лабораторные
Практика
Школьный курс
На главную

Контрольная по математике. Примеры решения задач школьного курса Контрольная по математике

Уравнения, содержащие модуль

Самый распространённый, а иногда и единственно возможный метод решения уравнений с модулем – раскрытие модуля согласно определению:

Пример  1

Решите уравнение | x – 5| – |2 x + 8| =  –12.

Показать решение

Выражения, стоящие под знаком абсолютной величины, обращаются в нуль при x = –4 и x = 5. Значит, нужно рассмотреть 3 случая:

1) x ≤ –4; 2) –4 <  x ≤ 5; 3) x > 5.

Получим три уравнения, в каждом из которых на неизвестное наложено ограничение. На рисунке схематично показано, какой знак будут иметь подмодульные выражения на каждом из трёх промежутков.

Рисунок 3.1.8.1

    x ≤ –4. В этом случае 2 x + 8 < 0, x – 5 < 0. Следовательно, С учётом этого уравнение принимает вид

    –4 <  x ≤ 5. Этот корень удовлетворяет нужным ограничениям. 3. x > 5. Этот корень не удовлетворяет нужным ограничениям.

Ответ. −25; 3.

Этот метод удобно применять, когда подмодульные выражения довольно просты (линейны), и можно сразу понять, где они обращаются в нуль. Рассмотрим простейшее уравнение с модулем вида | f ( x )| =  g ( x ), (9) где функция f ( x ) проще функции g ( x ). Это уравнение равносильно следующей системе уравнений: Убедиться в справедливости этого утверждения можно, перебрав все возможные варианты.

Если же под модулем стоит функция, найти корни которой затруднительно, то условие равносильности можно переписать так:

Пример 

Решите уравнение 2| x 2 + 2 x – 5| = x – 1.

Показать решение

Этому уравнению соответствуют два уравнения 2( x 2 + 2 x – 5) = x – 1 и 2( x 2 + 2 x – 5) = 1 – x , среди корней которых нужно отобрать удовлетворяющие условию x ≥ 1. Имеем:

1. Корни этого уравнения Ответ.

Пример 

Решите уравнение

Показать решение

Все корни исходного уравнения содержатся среди корней двух уравнений которые можно переписать в виде Ответ. 3.

Задачи

Ядерная энергетика