Контрольная по математике. Примеры решения задач школьного курса

Понятие числовой функции

Пусть функции y  =  g  ( x ) и z  =  f  ( y ) определены на множествах D и E соответственно, причем множество значений функции f содержится в области определения функции g . Тогда функция, принимающая при каждом значение f  ( g  ( x )), называется сложной функций или суперпозицией функций f и g и обозначается Так, функция z  = sin ( x  – 1) является суперпозицией функций y  =  x  – 1 и z  = sin  y . Важно отметить, что в общем случае суперпозиция не совпадает с ; так, в нашем примере , а

Функции могут задаваться различными способами. Самый распространенный из них – аналитический, когда числовая функция задается при помощи формулы. Вот некоторые примеры.

• Формулой S  ( r ) = π r ² задается функция зависимости площади круга от радиуса.
• Функция ºF (ºC) определяет перевод температуры из градусов Цельсия в градусы Фаренгейта:
• Если деньги положены в банк под p процентов годовых, а сумма, положенная в банк изначально, равна то через n лет в банке будет – функция от количества лет, на которые положены средства Эта формула называется формулой сложных процентов .
• При равномерном движении скорость тела является функцией времени: s  ( t ) =  v  ·  t .
• Функция x  ( t ) =  A  cos (ω t  + φ) задает гармонические колебания. Здесь A – амплитуда колебаний, ω – круговая частота, φ – начальная фаза.
• Функция называется формулой радиоактивного распада . Здесь – начальное количество радиоактивного вещества, m  ( t ) – текущее, T – период полураспада.

Функция может быть задана различными формулами на разных промежутках. Так, формулы f  ( x ) =  задают на множестве действительных чисел функцию f  ( x ) = | x |, называемою модулем , а формулы f  ( x ) =  определяют функцию Дирихле . Иногда функция задается в виде таблицы численных значений. Наконец, функции могут задаваться при помощи графиков:

График 1.3.1.1.

График функции y  =  x ²  + 1 на D  = [–2; 2]. По числовым осям заштрихованы область определения и область значений функции.

Графиком функции y  =  f  ( x ) в выбранной системе координат называется множество всех точек ( x ;  y ), для которых выполняется равенство y  =  f  ( x ).