Математический анализ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Система уравнений с двумя переменными Графические методы решения задач Дробно-линейная функция На главную

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Теорема. Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы , ,  компланарны. Можно считать, что они лежат в одной плоскости. Тогда вектор  перпендикулярен этой плоскости, следовательно, ,

а значит, их скалярное произведение равно нулю, то есть .

Достаточность. Пусть . Предположим, что векторы некомпланарны. Но тогда существует параллелепипед, построенный на этих векторах, объем которого , а это противоречит условию . Следовательно, предположение неверно, и векторы компланарны.

Пример 10. Доказать, что точки , ,  и  лежат в одной плоскости.

Решение. Достаточно показать, что векторы ,  и компланарны, то есть их смешанное произведение равно нулю. , , ;

.

Пример 11. Найти объем тетраэдра, построенного на векторах , , . Правой или левой является тройка векторов , , ?

Решение. Найдем смешанное произведение этих векторов:

.

, значит, векторы образуют левую тройку; .


Дифференциальное исчисление функции одной переменной