Математический анализ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Система уравнений с двумя переменными Графические методы решения задач Дробно-линейная функция На главную

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Смешанное произведение векторов

Смешанным, или векторно-скалярным произведением трех векторов (обозначается ) называется произведение вида .

Пусть известны координаты векторов: , , . Векторное произведение векторов и – это вектор с координатами

.

Скалярное произведение вектора  на вектор :

Таким образом,

. (2.11)

Нетрудно показать, что . 

Отложим данные некомпланарные векторы , ,  от общего начала и построим на них как на ребрах параллелепипед (рис. 18).

 

Рис. 18

По определению скалярного произведения   , где – угол между векторами  и . Но  – площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , а , где  – высота параллелепипеда. Таким образом, .

Смешанное произведение трех векторов с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах. Можно записать: .

Объем тетраэдра, построенного на векторах , ,  (рис. 19) равен .

Рис. 19

Заметим, что если векторы , , образуют правую тройку, то  и` , а если левую, то  и .


Знакомства без регистрации Дифференциальное исчисление функции одной переменной