Математический анализ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Квадратный трехчлен Декартова система координат Предел последовательности Школьный курс лекций На главную

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Пример . Исследовать функцию   и построить ее график.

1. Область определения   так как при   и х=2 в знаменателе получается нуль.

2. Пусть х=0, тогда у=0.

Пусть у=0, тогда

(0;0) – точка пересечения графика с осями координат.

3. =  – функция нечетная.

4. Функция имеет разрывы в точках х = -2 и х = 2, так как значения f(-2) и f(2) не определены.   ;     Это означает, что в точках   и х = 2 функция имеет разрывы II рода и прямые   и х = 2 являются вертикальными асимптотами.

5. Найдем невертикальные асимптоты.

    следовательно, прямая у=0 является горизонтальной асимптотой при   и .

6.        Вычислим   при всех значениях х, принадлежащих области определения функции. Точки   и х = 2 – критические, так как в них производная не существует.

На интервалах   функция убывает. Экстремумов нет.

7.      Вычислим

y'' = 0; ;

х = 0;   х = 2 – критические точки второго порядка.

На интервалах   и (0;2) график функции выпуклый, а на интервалах (-2;0) и  – вогнутый; х = 0 – абсцисса точки перегиба.


Пределы и непрерывность функции