Математический анализ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Квадратный трехчлен Декартова система координат Предел последовательности Школьный курс лекций На главную

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Пример . Исследовать функцию y = x-2arctg x и построить ее график.

1. Область определения ( .

2. Пусть х = 0, тогда у = 0-2arctg 0 = 0.

Пусть y = 0, тогда х-2arctg x = 0; х = 2arctg x – решить такое уравнение точнo не удается.

Найдена точка (0;0) пересечения с осями координат.

3.   функция нечетная.

4. Функция непрерывна во всей области определения. Вертикальных асимптот нет.

5. Невертикальные асимптоты.

y = kx+b

 – асимптота при .

Выясним, есть ли асимптоты при

.

 – асимптота при

6. y'

  и х = 1 – критические точки. Нанесем критические точки на числовую прямую и определим знаки производной в образовавшихся интервалах.

На интервалах   функция возрастает, на интервале

(-1;1)– убывает.

7.   y'' = 0; 4х = 0; х = 0 – критическая точка второго порядка. Нанесем ее на числовую прямую и определим знаки второй производной в образовавшихся интервалах.

На интервале ( график выпуклый, на интервале  – вогнутый.

х = 0 – абсцисса точки перегиба.

8. .


Пределы и непрерывность функции