Математический анализ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Квадратный трехчлен Декартова система координат Предел последовательности Школьный курс лекций На главную

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Применение производной к исследованию функций

Интервалы монотонности. Экстремумы

Функция у = f (х) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, если для любых значений x2>x1 этого промежутка выполняется условие f(x2) > f(x1)(f (x2) < f (x1)).

Функция у = f(х) имеет максимум (минимум) в точке x0, если существует такая окрестность точки x0, что для всех x, принадлежащих этой окрестности, выпол­няется условие f(х) < f(х0) (f (х) > f(х0), х¹ х0.

Максимумы и минимумы функции называются ее экстремумами.

Интервал, на котором функция возрастает или убывает, называется интервалом монотонности функции.

Теорема 1. (необходимое условие монотонности функции). Если дифференцируе­мая в интервале (а, b) функция у = f (х) возрастает (убывает) на этом интервале, то ее производная в каждой точке (а, b) .

Доказательство. Пусть у = f (х) – дифференцируема и возрастает на (а, b). Пусть точки х и х+х принадлежат (а, b). Если >0, то f(x+) > f(x); если <0, то f (x+ ) < f(x). В обоих случаях > 0. Переходя к пределу в последнем неравенстве при 0 и учитывая, что функция дифференцируема, получаем .

Аналогично доказывается теорема в случае убывающей функции. Рекомендуем сделать это самостоятельно.


Пределы и непрерывность функции