Математический анализ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Квадратный трехчлен Декартова система координат Предел последовательности Школьный курс лекций На главную

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Теорема (О связи между существованием производной и существованием дифференциала). Для того, чтобы функция y = f(x) имела в точке х дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную.

Доказательство. Необходимость. Пусть функция y = f(x) имеет в точке х дифференциал. Это означает, что ее приращение в этой точке можно представить в виде: Dу = АDх+0(Dх). Разделим обе части последнего равенства на Dх и перейдем к пределу при Dх®0. Получим . Но следовательно,   существует и. Отметим, что выражение дифференциала функции принимает вид: dy = f'(x) Dx.

Достаточность. Пусть функция y = f(x) имеет в точке х производную . По свойству предела функции , где - бесконечно малая функция при Dх®0. Умножим обе части последнего равенства на Dх, получим . Действительно, . Мы получили: , что и означает, что функция y = f(x) имеет в точке х дифференциал dy = f'(x) Dx. Теорема доказана.

Замечание. Рассмотрим функцию у = х. Ее дифференциал равен:

dy = dx = x'Dx = Dx. Таким образом, дифференциал независимой переменной равен ее приращению dx = Dx. Тогда выражение дифференциала функции можно записать в виде: dy = f'(x) dx. Заметим, что .


Пределы и непрерывность функции