Математический анализ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Квадратный трехчлен Декартова система координат Предел последовательности Школьный курс лекций На главную

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Дифференциал функции

Рассмотрим функцию у = х3. Дадим некоторому значению аргумента х ¹ 0 приращение Dх ¹ 0, тогда функция получит соответствующее приращение Dу. Вычислим его.

Dу = (х+Dх)33 = х3+3х2Dх+3х(Dх)2+(Dх)33 = =3х2Dх+(3х(Dх)2+(Dх)3).

Приращение функции можно рассматривать как сумму двух слагаемых: 3х2Dх – линейного относительно Dх и 3х(Dх)2+(Dх)3 – нелинейного относительно Dх. При Dх®0 оба слагаемых, очевидно, являются бесконечно малыми. Однако второе слагаемое является бесконечно малой более высокого порядка, чем первое. Действительно, .

  Обозначим 3х(Dх)2+(Dх)3 = 0(Dх). Таким образом, Dу = 3х2Dх+0(Dх). При малых Dх получаем: Dу»3х2Dх.

Определение. Пусть приращение Dу функции y = f(x) в точке х можно представить в виде

Dу = АDх+0(Dх),  (1)

где Dх – приращение аргумента; А- величина, не зависящая отDх; 0(Dх) – бесконечно малая более высокого порядка, чем Dх при Dх®0, то есть . Тогда главная часть приращения (1) функции А×Dх, линейная относительно Dх, называется дифференциалом функции в точке х и обозначается dy. Итак, по определению dy = А×Dх.


Пределы и непрерывность функции