Математический анализ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Квадратный трехчлен Декартова система координат Предел последовательности Школьный курс лекций На главную

Пределы и непрерывность функции

Односторонние пределы

 Теорема . Если в точке а существуют пределы функций f(х) и g (x) и при этом , то существует и предел частного , причем .

 Теорема 4. Если функция f (x) имеет предел в точке а, отличный от нуля, то функция  также имеет в этой точке предел, причем .

 Докажем для примера, что .

  Пусть , .

  Так как , то f(x) = A + a(x), где a(x) ® 0 при x ® a, а так как , то g(x) = В + b(x), где b(x) ® 0 при x ® a.

  Тогда f (x) ± g(x) = [A + a(x)] ± [В + b(x)] = (А ± В) + (a(x) ± b(x)), где a(x) ± b(x) ® 0 при x ® a как алгебраическая сумма бесконечно малых a(x) и b(x).

 Таким образом, функция f (x) ± g(x) отличается от числа А ± В на бесконечно малую и, следовательно, это число является пределом суммы функций f(x) и g(x), то есть имеем .

  Отметим, что при вычислении пределов сформулированные выше теоремы о пределах, как правило, не "работают", а попытка их применения приводит в итоге к неопределенности того или иного вида. Например,

  , , ,

  , .

  Рассмотрим на примерах основные приёмы раскрытия неопределенностей.

  Заметим, что необходимо выяснить, что именно эту неопределённость "вносит", и постараться избавиться от выражения, вносящего неопределённость.


Пределы и непрерывность функции