Математический анализ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Квадратный трехчлен Декартова система координат Предел последовательности Школьный курс лекций На главную

Пределы и непрерывность функции

Односторонние пределы

Любой интервал (a, а), правым концом которого является точка а, называется левой окрестностью точки а.

  Аналогично любой интервал (a, b), левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью.

  Символически запись означает, что х стремится к а справа, оставаясь большим а, то есть при х > а;  означает, что х стремится к а слева, то естьпри х < а.

будем называть левосторонним пределом функции при слева, -это правосторонний предел функции.

 Теорема. Функция у = f(х) имеет   в том и только в том случае, когда существуют и равны друг другу ее   и . Tогда  =   =  

 

Бесконечно малые и бесконечно большие

Функция (х) называется бесконечно малой при х®а, если   Ясно, что тогда ïa(x)ï Ð e для x Î O (а, б) и " e > 0.

 Функция f(х) называется бесконечно большой при если . Это равносильно тому, что каким бы ни было число М > 0, найдется такая окрестность О (а, б), что для всех x Î O (а, б) > M.

 Лемма. Если f(х) ¥ при х а, то 0 при х®а. Если a (x) ® 0 при x® a, то ® ¥ при x ® a и a (x) ¹ 0.

 Действительно, пусть f(x) ® ¥, то есть является бесконечно большой. Тогда ïf(x)ï > М для x Î O (а, б).  для x Î O (а, б), то есть  для x Î O (а, б), это означает, что , так как можно взять в качестве e > 0.

Аналогично доказывается вторая часть утверждения.


Пределы и непрерывность функции