Математический анализ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Квадратный трехчлен Декартова система координат Предел последовательности Школьный курс лекций На главную

Пределы и непрерывность функции

Пределы и непрерывность функции

Пример . Функция у = sin х ограничена на всей числовой оси, так как . Функция  не ограничена на множестве, содержащем точку х = 0.

Лемма. Если функция f(х) имеет предел А при х а, то она ограничена в некоторой окрестности точки х = а.

Доказательство. Выберем e = 1, что возможно, так как e – любое положительное число. Имеем < 1 при x Î 0 (а, б), что следует из определения предела функции. Рассмотрим . Очевидно: ïf(x)ï = ïf(x) – A + Aï £ ï f(x) – Aï + ïAï. Но для x Î O (а, б) имеем ïf(x) – A ï < 1 и тогда ïf(x)ï < 1 +ïAï для x Î O(а, б), где М = 1 +ïAï.

Замечание. Обратное утверждение неверно: ограниченная функция может не иметь предела.

Например, функция f(x) = sin ограничена при 0< ïxï < + ¥, но не имеет предела при x ® 0.

 Теорема. Пусть существует   и пусть М < f(x) < N в некоторой окрестности точки x = a. Тогда М £ А £ N.

 Положительная функция не может иметь отрицательного предела.


Пределы и непрерывность функции