Математический анализ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Квадратный трехчлен Декартова система координат Предел последовательности Школьный курс лекций На главную

Пределы и непрерывность функции

Пределы и непрерывность функции

  Окрестностью О (а) точки а называется любой интервал a < x < b, окружающий эту точку, из которого, как правило, удалена сама точка а.

  Под окрестностью О(¥) символа бесконечность понимается внешность любого отрезка [a,b], то есть О (¥) = (-¥,a) È (b,+ ¥).

 б-окрестностью точки а называется интервал (аб, а+б), не содержащий точку а, то есть О (а, б) = (а- б, а) È (а, а + б).

 

  Пусть функция f(x) определена на множестве X, кроме быть может точки а. Точку а мы будем называть предельной точкой множества X, если в любой б -окрестности точки а содержится бесконечно много точек xÎX, то есть О (а) ÇX ¹ Æ для " О(а).

  Число А называется пределом функции f(x) в точке а (или при x®а), если для любого e > 0 cуществует число б (e) > 0 такое, что для любого x Î X, удовлетворяющего условию 0 < ïx – аï < б,следует неравенство ïf (x) – Aï< e.

  Учитывая, что все x, удовлетворяющие условию 0 < ïx- аï< б, находятся в б-окрестности точки а, можно несколько иначе сформулировать определение предела.

  Говорят, что число А является пределом функции f(x) при x®а, если для "e > 0 существует б-окрестность точки а О (а,б) = íx/ 0< ïx-aï<бý,где б =б (e), такая, что для " x Î O (а, б) выполняется неравенство ïf(x) – Aï < e.

  При этом пишут:

Утверждение   эквивалентно следующему:

ïf(x) – Aï < e при ïx ï > ∆, где ∆ = ∆(e) зависит от e и по смыслу определения является достаточно большим положительным числом.

 Множество всех точек x, для которых ïxï > ∆, очевидно является симметричной окрестностью символа ¥.


Пределы и непрерывность функции