Математический анализ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Квадратный трехчлен Декартова система координат Предел последовательности Школьный курс лекций На главную

Пределы и непрерывность функции

 Все элементарные функции непрерывны в области определения. Так что  всюду непрерывна, так как всюду определена, а, например, функция  разрывна в точке .

  Дадим теперь классификацию точек разрыва функций. Возможны следующие случаи.

  1.Если  и  существуют и конечны, но не равны друг другу, то точку  называют точкой разрыва первого рода. При этом величину  называют скачком функции в точке .

 Пример 13. Исследовать на непрерывность функцию .

 Решение. Эта функция может претерпевать разрыв только в точке 0, где происходит переход от одного аналитического выражения к другому, а в остальных точках области определения функция непрерывна.

  Найдем левосторонний предел функции при . Слева от точки 0, то есть при   , а .

  Справа от точки 0 . Тогда = . Значение функции в точке 0 равно нулю, то есть . Функция в точке 0 имеет разрыв первого рода. Это видно на графике функции.

  2.Если в точке   , но в точке  функция  либо не определена, либо , то точка  является точкой устранимого разрыва. Последнее объясняется тем, что если в этом случае доопределить или видоизменить функцию , положив , то получится непрерывная в точке  функция.


Пределы и непрерывность функции