Начертательная геометрия Сопромат. Расчеты при выполнении курсового задания Техническая механика Лабораторные работы по сопротивлению материалов На главную

Начертательная геометрия примеры решения задач, лекции и конспекты

Треугольник следов и его свойства. Теорема Польке.

Треугольник следов и его свойства.

В общем случае плоскость картины пересекает координатные плоскости по линиям, которые своими отрезками образуют так называемый треугольник следов (рисунок 11.3, 11.3а)

Рисунок 11.3 Рисунок 11.3а

Изображение имеет главную и вторичную проекции. Главной называется изображение А´ самой точки А; вторичной – изображение первичной проекции точки на какой – либо плоскости координат П1 П2 П3. Вторичных проекций может быть три, но преимущественно используется вторичная проекции на горизонтальной плоскости. При необходимости по главной и вторичной проекции могут быть построены и другие вторичные проекции на П2 и П3.

Таким образом, в аксонометрии имеется два поля проекций: поле главной и поле вторичной проекций. Обычно в начале строится вторичная проекция, а затем главная.

В этом плане аксонометрия не имеет принципиального отличия от ортогональных проекций, о чем свидетельствует решение задачи определения точки пересечения прямой АВ с плоскостью, заданной отсеком, аналогично решению в ортогональных проекциях (рисунок 11.4)

Рисунок 11.4

Аксонометрическое изображение (главная и вторичная проекции оригинала) с осями и масштабами являются обратимой проекцией и позволяет восстановить объект в пространстве.

Теорема Польке.

При построении параллельной проекции можно произвольно выбрать плоскость проекций П´ и направление проецирования.

Очевидно, любое изменение взаимного положения осей координат и плоскости проекций и всякое изменение направления вызовет как изменение положения аксонометрических осей, так и коэффициентов искажения по ним.

Геометр прошлого века К. Польке в 1853г., изучая вопрос о том, в какой зависимости находятся направление аксонометрических осей и коэффициенты искажения по ним от направления проецирования и положения плоскости проекций, пришел к следующему выводу.

Три произвольно выбранные отрезка О´x´, O´y´, O´z´ (рисунок 11.1) на плоскости П´, выходящие из одной точки, представляют параллельную проекцию трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков Ox, Oy, Oz, выходящих из некоторой точки пространства. Доказательство теоремы Польке приведено в курсе Е.А. Глазунова и Н.Ф. Четверухина «Аксонометрия» (Гостехиздат, 1953).

Эта теорема К. Польке имеет существенное значение как для аксонометрии, так и для многих ее приложений. На основании теоремы Польке системы аксонометрических осей, а так же отношение коэффициентов искажения по ним могут быть заданны совершенно произвольно.

Коэффициенты искажения пропорциональны соответственно отрезкам, изображающим аксонометрические оси. Действительно, отрезки О´x´, О´y´, О´z´, которые являются числителями дробей, определяющих коэффициенты искажений u, v, w, могут быть согласно теореме Польке выбраны произвольно. Но все эти три произвольно выбранных отрезка служат параллельной проекцией трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков пространства. Пусть длина каждого из них равна m. Составив отношение u : v : w = : : и, заменяем Ох, Оу, Оz через m, получим: u : v : w = O´x : O´y´ : O´z´, что и доказывает пропорциональность коэффициентов искажения соответствующим отрезкам.

11.4. Прямоугольная аксонометрия и ее свойства.

Для того чтобы направление проецирования было перпендикулярно картине, ее плоскость должно быть расположена под какими – то углами к пространственным осям координат. В этом случае треугольник следов в прямоугольной аксонометрии всегда остроугольный, аксонометрические оси являются высотами этого треугольника и образуют между собой тупые углы (рисунок 11.5)

Рисунок 11.5

При решении ряда задач приходится определять натуральные размеры отдельных элементов изображенного объекта (длины отрезков, величины углов и пр.) или, наоборот, строить эти элементы по заданным условиям.

Метрические задачи в аксонометрии проще решать в том случае, если элемент тем или иным способом приведен в плоскость картины или в плоскость, параллельную ей. После операций, проделанных в плоскости картины, элемент надо привести в исходное положение. Наиболее распространенным и практически удобным способом является способ вращение до совпадения элемента с плоскостью картины или до положения, перпендикулярного к картине.

В первую очередь этот способ применяется для определения натуральных масштабов по произвольно выбраны аксонометрическим или, наоборот, для установления аксонометрических масштабов по натуральным точкам. Он так же используется для определения положения картины и направления проецирования по отношению к координатным плоскостям, если это требуется по ходу работы.

На рисунке 11.5 видно, что плоскость картины отсекает от координатных плоскостей треугольники, ограниченные двумя отрезками осей координат и стороной треугольника следов. Эти треугольники на картине проецируются искаженно, но сохраняют сторону треугольника следов.

Для нахождения натуральной величины этих треугольников, а следовательно, и отсеченных отрезков осей надо их совместить с плоскостью картине вращением вокруг следа картины; при этом точка О´ - проекция начала координат – будет перемещаться по перпендикуляру к стороне треугольника следов (следу плоскости Р) и расположится на дуге окружности, построенной на стороне треугольника следов, как на диаметре (рисунок 11.6 а).

Рисунок 11.6

На совмещенных треугольниках будут определяться истинные величины отрезков координатных осей, а следовательно, и натуральные масштабы, что позволит установить показатели искажения, т.е. отношения аксонометрических масштабов к натуральным.

Но может быть выполнен и обратный процесс – определение положения осей аксонометрии по данным натуральным масштабам и выбранным показателям искажения.

Для определения натуральной величины отрезка только одной оси аксонометрии Z и натурального масштаба по ней вращение производится вокруг этой оси Z (рисунок 11.6 б), и совмещенное положение точки О´ будет так же на окружности, построенной на отрезке В´1´ как на диаметре. Здесь, как и в первом совмещении, будут установлены натуральный размер отрезка оси Z, натуральный масштаб и величина «сжатия» фигур, лежащих в горизонтальной плоскости, а следовательно, и «коэффициент сжатия» в направлении, параллельном оси Z, т.е. высоты объекта. Коэффициент сжатия – отношение О´1´ : O´31´ в дальнейшем будет использована для решения позиционных и метрических задач, а так же для преобразования кривых 2-го порядка в более простые (окружности).

На изображения, выполняемые в аксонометрических проекциях, имеются ГОСТы (ГОСТ 2.317 – 69), которые рекомендую следующие виды аксонометрических изображений:

1. Два вида прямоугольных аксонометрических проекций (изометрию и диметрию).

2. Три вида косоугольных (фронтальную изометрию, горизонтальную изометрию, фронтальную диметрию).


Релятивисткая механика Примеры решения задач