Начертательная геометрия Сопромат. Расчеты при выполнении курсового задания Техническая механика Лабораторные работы по сопротивлению материалов На главную

Начертательная геометрия примеры решения задач, лекции и конспекты

Пересечение многогранников с кривой поверхностью

Линия пересечения многогранника с кривой поверхностью состоит из плоских кривых, каждая из которых получается в результате сечения кривой поверхности одной из граней многогранника. Точки, в которых эти плоские кривые соединяются друг с другом, являются точками пересечения ребер многогранника с кривой поверхностью.

Таким образом задача на построение линии пересечения многогранника с кривой поверхностью может быть сведена к задачам на пересечение кривой поверхности с плоскостью и прямой линией.

Построение линии пересечения начинают с определения опорных точек (точек пересечения ребер многогранника с кривой поверхностью), а затем определяют достаточное количество произвольных точек.

На рис. 5.10 показано построение линии пересечения трёхгранной призмы со сферой, а на рис. 5.11 – линии пересечения четырёхгранной призмы с цилиндром.

На рис. 5.10 одна из проекций линии пересечения (горизонтальная) известна, т.к. сливается с горизонтальной проекцией боковой поверхности призмы, что упрощает построение. Оно сводиться к нахождению фронтальных проекций точек принадлежащих поверхности сферы, по их горизонтальным проекциям. Так проекция С2 найдена при помощи горизонтали на поверхности сферы: эта горизонталь имеет радиус О1С1. Точки А2 и Е2 получены на фронтальной проекции главного меридиана сферы по проекциям А1 и Е1, точка D2 – на фронтальной проекции экватора. На задней грани линия пересечения – дуга с радиусом D1З1, а на боковых гранях – дуги эллипсов.

Рис .5.10

На рис. 5.11 каждая грань призмы пересекает цилиндрическую поверхность по эллипсу; эти эллипсы пересекаются между собой в точках, которые являются точками пересечения рёбер призмы с цилиндрической поверхностью. Фронтальные проекции этих точек определяются по их профильным проекциям. Для любой точки Е по её профильной проекции находим Е2. Точки А2 и В2 определяются по их горизонтальным проекциям.

Рис. 5.11

Развертка многогранных поверхностей методом нормального сечения

Разверткой многогранника называется плоская фигура, составленная в определенном порядке из граней многогранника.

Развертку можно получить, если совместить все грани многогранника с плоскостью одной из его граней последовательным вращением их вокруг рёбер. Развёртка широко применяется при изготовлении изделий из листовых материалов.

Для построения развертки необходимо иметь все грани многогранника в натуральную величину.

В практике существуют три способа построения развертки многогранников.

Способ нормального сечения – для наклонных призм под произвольными углами к плоскостям проекций (алгоритм построения: пересекают призму плоскостью, перпендикулярной к ребрам, находят натуральную величину фигуры сечения, строят развертку) – рис. 5.7.

Рис. 5.7

Развертка многогранных поверхностей методом раскатки

Способ раскатки (вращают грани призмы последовательно вокруг одного ребра до совмещения с плоскостью чертежа – получают боковые рёбра призмы и основания в натуральную величину) – для призм, у которых основания параллельны одной плоскости проекций, а боковые рёбра – другой (рис. 5.8).

Рис. 5.8

Пример: Построить развертку боковой поверхности наклонной трёхгранной призмы ABCDE (рис. 5.8)

Рис. 5.8

Решение: Примем за плоскость развертки плоскость Р, походящую через ребро AD, параллельную фронтальной плоскости проекции. Совместим грань ADEB с плоскостью Р. Для этого мысленно разрежем боковую поверхность призмы по ребру AD. А затем осуществим поворот грани ADEB вокруг ребра AD (A2D2).

Для нахождения совмещенного с плоскостью Р положения ребра В0Е0 из точки В2 проводим луч, перпендикулярный к A2D2, и засекаем на нем дугой радиуса А1В1, проведенной из центра А2, точку В0. Через В0 проводим прямую В0Е0, параллельную (A2D2).

Принимаем совмещенное положение ребра В0Е0 за новую ось вращения и поворачиваем вокруг неё грань BEFC до совмещения с плоскостью Р. Для этого из точки С2 проводим луч, перпендикулярный к совмещенному ребру В0Е0, а из точки В0 – дугу окружности радиусом, равным В1С1; пересечение дуги с лучом определит положение точки С0. Через С0 проводим С0F0 параллельно В0Е0. Аналогично находим положение ребра A0D0. Соединив точки A2B0C0A0 и D2E0F0D0 прямыми, получим фигуру A2B0C0A0D0F0D0E0D0 – развертку боковой поверхности призмы. Для получения полной развертки призмы достаточно к к-л из звеньев ломаной линии A2B0C0A0 и D2E0F0D0 пристроить треугольники основания А0В0С0 и D0E0F0.

Развертка многогранных поверхностей методом треугольников (триангуляции)

Способ триангуляции (треугольников) – применяют прежде всего для пирамид, в случае призм разбивают боковые грани их диагоналями; затем находят натуральную величину каждого треугольника-боковой грани и основания, после чего строят последовательно эти треугольники и основание на плоском чертеже (рис. 5.9).

Пример: Построить развертку боковой поверхности пирамиды SABC (рис. 5.9).

Решение: Развертка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников – граней пирамиды. На рис. 5.9 определение длин ребер пирамиды выполнено с помощью вращения их вокруг оси i ? S и i  П1. Путем вращения ребра пирамиды совмещаются с плоскостью Р (плоскость РП2 и Р ? i). После того, как определены длины ребер S2A0, S2B0, S2C0, приступаем к построению развертки. Для этого через произвольную точку S0 проводим прямую D. Откладываем на ней от точки S0 (S0A0)  (S2A0). Из точки А0 проводим дугу радиусом rI = (А1В1), а из точки S0 – дугу радиусом RI = (S2B0).Пересечение дуг укажет положение вершины В0  S0A0B0  SAB – грани пирамиды. Аналогично находятся точки С0 и А0. Соединив точки А0В0С0А0, получим развертку боковой поверхности пирамиды SABC.

Полная развертка пирамиды получиться при построении на любой стороне основания его фигуры (в данном случае А0В0С0).

Рис. 5.9


Релятивисткая механика Примеры решения задач