Примеры решения задач по математике

Инженерная графика
Начертательная геометрия
Машиностроительное конструирование
Детали машин
Графические обозначения материалов в сечениях
Винтовые поверхности
Условные изобращения резьбы на чертежах
Упорная резьба
Резьбовые соединения
Требования к чертежам деталей
Шероховатость поверхностей
Текстовые надписи на чертежах
Выполнение эскизов деталей
Выполнение рабочих чертежей деталей
Сопромат.
Расчеты при выполнении
курсового задания
Расчет трехопорной рамы
Лабораторные работы
Физика
Решение задач
Курсовые расчеты по электротехнике
Математика
Векторная алгебра
Примеры решения задач
Решение типового варианта контрольной
работы по математике
Школьный курс лекций
Предел последовательности
Декартова система координат
Квадратный трехчлен
Дробно-линейная функция
Графические методы решения задач
Система уравнений с двумя переменными
Метод Гаусса
Математический анализ
Векторная алгебра
и аналитическая геометрия
 

Функциональная зависимость Понятие функции является одним из основных понятий математического анализа.

Сложные и обратные функции

Числовая последовательность и её предел

Непрерывность функции Пример. Исследовать на непрерывность функцию

Производная Определение производной возникло в результате абстракции из большого числа разнообразных задач геометрического, физического, экономического содержания. Среди них выделяют задачу о касательной, задачу о мгновенной скорости, задачу о производительности труда.

Дифференциал Пример. Найти приращение и дифференциал функции  при  и

Приложения производной Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке X функция  достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке  этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть .

Правило Лопиталя используется при вычислении пределов и служит для раскрытия неопределённостей типа   или .

Исследование функций с помощью производной Пример. Найти интервал монотонности функции

Задачи на максимум и минимум Приведём примерные планы решения текстовых задач на экстремум:

Алгоритм исследования функции на выпуклость и точки перегиба

1. Найти вторую производную функции .

2. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба. Если вторая производная будет менять свой знак с плюса на минус или с минуса на плюс в исследуемой точке, то эта точка будет точкой перегиба. Если вторая производная знака не меняет, то точек перегиба нет.

Исследуем функцию на непрерывность. Функция непрерывна в области определения как частное двух непрерывных функций. Вертикальных асимптот нет.

Вычислить неопределённый интеграл — это значит найти множество всех первообразных для подынтегральной функции.

Метод интегрирования по частям Пример. Вычислить интеграл .

Метод замены переменной является одним из основных методов интегрирования. Пример. Вычислить интеграл.

Интегрирование некоторых классов функций Вычислить интеграл .

Интегрирование некоторых видов иррациональностей При интегрировании иррациональных функций основная задача заключается в выборе такой подстановки, которая данное подынтегральное выражение преобразует в рациональное, то есть рационализирует его.

Определённый интеграл и его вычисление Вычислить .

Несобственные интегралы Пример. Вычислить или доказать расходимость интеграла .

Функции нескольких переменных Найти область определения функции .

Предел и непрерывность Пример 1. Вычислить предел .

Частные производные высших порядков Пример. Доказать, что функция   удовлетворяет соотношению .

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Пример. Найти значение функции   в точке .

Пример. Найти частные производные функции Решение. При нахождении частной производной по x будем рассматривать y как величину постоянную

Сложная функция нескольких переменных и ее дифференцирование. Полный дифференциал Цель занятия. Научить студентов дифференцировать сложные функции двух переменных, находить частные и полные производные, полные дифференциалы.

Пример. Найти полный дифференциал функции .

Дифференцирование функции нескольких переменных

Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала. Пример. Вычислить приближенно значение , исходя из значения функции  при x = 1, y = 2, z = 1.

Экстремум функции нескольких переменных Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи: 2x + 3y – 5 = 0.

Производная по направлению Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).

Найти области определения функций

Кратные интегралы. Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.

Замена переменных в двойном интеграле

Тройной интеграл. При рассмотрении тройного интеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет.

Геометрические и физические приложения кратных интегралов. Вычисление площадей в декартовых координатах. Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 4x + 4; x + y – 2 = 0.

Теория функций комплексных переменных Определение. Если каждому комплексному числу z из некоторого множества D по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число w из множества G, то на этой области задана однозначная функция комплексного переменного, отображающая множество D на множество G.

Производная функций комплексного переменного

Ряды Тейлора и Лорана Пример. Найти вычет функции  относительно точки z = 2.

Операционное исчисление. Преобразование Лапласа.

Решить уравнение

Криволинейные интегралы Пример. Вычислить интеграл  по одному витку винтовой линии

Формула Остроградского – Грина

Свойства поверхностного интеграла первого рода

Элементы теории поля Пример. Найти , если

На главную