Решение типового варианта контрольной работы

Матанализ
Начертательная геометрия

Сопромат

Задачи
На главную

Матрицы и определители

Вычислить определитель 3-го порядка

Привести матрицу к ступенчатому виду и вычислить ранг матрицы Решение. Говорят, что квадратная матрица имеет ступенчатый вид, если ниже ее главной диагонали стоят нулевые элементы. Матрица приводится к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований : а) перестановка строк, б) умножение строки на число, в) прибавление к одной строки другой, умноженной на некоторое число.

Вычислить значение многочлена  от матрицы ,

Системы линейных алгебраических уравнений

Задание к работе Методом  Крамера найти решение системы линейных алгебраических уравнений.

Методом Гаусса (или методом исключения неизвестных) найти решение системы линейных алгебраических уравнений

Векторная алгебра

Коллинеарны ли векторы  и , разложенные по векторам  и , где

Задание Имеет ли смысл выражение ? Обосновать.

Аналитическая геометрия

Даны вершины треугольника: А (1,-3), В (2,5) и С (8,1). Найти точку пересечения медианы, проведенной из вершины А и высоты – из вершины В, а также длину медианы, проведенной из вершины А.

Даны вершины А (-3,-2), В (4,-1), С (1,3) трапеции ABCD (AD || BC). Составить уравнение средней линии трапеции. Полученное уравнение привести к уравнению в «отрезках» и к нормальному.

Найти расстояние между параллельными прямыми .

Написать уравнение прямой l, проходящей через точки А (-1; 2; 3) и В (5; -2; 1). Лежат ли на этой прямой точки: К (-7; 6; 5), L (2; 0; 1), М (-4; 4; 4)? При каком значении m прямая l перпендикулярна прямой .

Кривые второго порядка

Параллельный перенос осей координат.

Из школьного курса алгебры известно, что график функции  есть гипербола, асимптоты которой параллельны  и  

Линия второго порядка задана уравнением   .

Рассмотрим уравнение кривой второго порядка общего вида   .

Как известно, пара чисел  на плоскости определяет точку, а уравнение, связывающее  и , – линию на плоскости. Помимо декартовых, на плоскости можно построить большое число других систем координат. Каждая из систем употребляется там, где это удобнее (и декартова – чаще всех бывает удобной), но при исследовании вращательных движений самой эффективной является полярная система координат.

Пусть  текущая точка искомой линии. Запишем уравнение линии в векторной форме

Начала анализа

Вычислить предел последовательности

Найти . Решение. Вычисление предела связано с раскрытием неопределенности вида . Для раскрытия этой неопределенности нужно разность преобразовать в частное, то есть неопределенность   свести к неопределенности   или .

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной

Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производную функции

Найти производные следующих функций:

Производная неявной функции

Теорема Ролля, Лагранжа и Коши

Исследование функций и построение графиков

План исследования функции Найти область определения функции.

Приведем примеры полного исследования функции

Пример 3:  

Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .

Теория вероятности

Комбинаторика раздел математики, в котором изучаются за­дачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам, в частности задачи о подсчете числа комбинаций (выборок), получаемых из элементов заданного конечно­го множества. В каждой из них требуется подсчитать число возмож­ных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на вопрос «сколькими способами?».

Предмет теории вероятностей - изучение вероятност­ных закономерностей, возникающих при рассмотрении массо­вых однотипных случайных событий.

Задача. В партии из 10 деталей две бракованные. Найти вероятность того, что среди выбранных на удачу четырех деталей окажется одна бракованная.

Контрольная работа по математическойстатистике

Задача. Случайная величина - число лет, которые служащие проработали в торговой компании; - сколько отпусков за это время они брали в этой компании.

Дискретные случайные величины Решение типовых задач Прежде чем привести решение конкретных задач, обращаем ваше внимание на то, что решение всех заданий вариантов основано на одних и тех же фактах и свойствах дискретных случайных величин. Приведем несколько примеров их использования при решении конкретных задач, посвященных изучению данной темы

Непрерывные и случайные величины Решение типового варианта Задача. Модуль скорости молекулы газа является случайной величиной X, распределенной по закону Максвелла:, если ,  – параметр. Найти .

Контрольная работа по операционному исчислению

Задача . Решить интегральное уравнение

Теория поля

Пример: Найти производную скалярного поля  в точке  по направлению вектора

Найти градиент скалярного поля  

Вычислить поток векторного поля  через внешнюю сторону боковой поверхности цилиндра , ограниченного плоскостями  .

Вычислить работу векторного поля  вдоль линии , являющейся пересечением параболического цилиндра  с плоскостью  от точки  до точки .

Доказать, что векторное поле  является потенциальным. Найти его потенциал.

Элементы теории функций комплексного переменного

Найти модуль и аргумент чисел  и . Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

Задание. Указать область дифференцируемости функции  и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Проверить, может ли функция  быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да – восстановить ее, при условии .

Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции  область :  плоскости .

Разложить в ряд Лорана функцию  в окрестности особой точки .

Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах:

Кратные и криволинейные интегралы.

Записать двойной интеграл в виде повторного и изменить порядок интегрирования, если область интегрирования .

Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных координат к полярным: .

Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:   где

Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластины D, ограниченной линиями  

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Задание. Найти общее решение дифференциальных уравнений. .

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям .

Найти общее решение дифференциального уравнения *.

Ряды

Пример Исследовать на сходимость числовые ряды:

Найти область сходимости ряда .

Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши .

Задачи

Ядерная энергетика