Начертательная геометрия, сопромат. Примеры выполнения курсовых, лабораторных работ

Матанализ
Начертательная геометрия

Сопромат

Задачи
Карта

Инженерная графика

Выполнение чертежей

Графические обозначения материалов в сечениях

Винтовые поверхности

Условные изобращения резьбы на чертежах

Упорная резьба

Резьбовые соединения

Требования к чертежам деталей

Шероховатость поверхностей

Текстовые надписи на чертежах

Выполнение эскизов деталей

Выполнение рабочих чертежей деталей

Физика, электротехника

Экзаменационные вопросы

Кинематика

Проекция ускорения на естественные оси

Методика решения задач

Тело, падающее без начальной скорости

Строение ядра

Оптика Ньютона

Волновая оптика

Квантовые свойства света

Поляризация света

Дифракция

Дифракция на оси от круглого отверстия

Механические волны

Основные представления об электричестве

Плотность тока и закон Ома

Примеры решения задач

Электромагнетизм

Трехфазный асинхронный двигатель

Сила тока

Электромагнитная индукция

Магнитное поле в веществе

Основы электродинамики

Пример вычисления индуктивности

Электромагнитные волны

Колебания и волны

 

Начертательная геометрия

Виды проецирования Существует несколько видов проецирования. Проекции центральные, - когда  задается плоскость про-екции и центр проекции точки, не лежащей в этой плоскости

Проецирование отрезка прямой линии Проецирование прямой линии на две и три плоскости проекции. Прямая линия в пространстве вполне определяется положением двух любых точек, принадлежащих этой прямой (траектория перемещения точки)

Задание и изображение плоскости на чертеже Плоскость - это простейшая поверхность. Положение плоскости в пространстве определяется: а) тремяточками, не лежащими на одной прямой линии, б) прямой иточкой, не принадлежащей данной прямой, в) двумя пересекающимися прямыми, г) двумя параллельными прямыми, д) любой плоской фигурой.

Положение плоскостей относительно плоскостей проекций Возможны следующие положения плоскости относительно плоскостей проекций H,V,W:

Построение линии пересечения двух плоскостей Прямая линия, получаемая при взаимном пересечении двухплоскостей, определяется двумя точками, каждая из которых одновременно принадлежит обеим плоскостям.

Способы преобразования чертежа Задание прямых линии и плоских фигур в частных положениях относительно плоскостей проекций значительно упрощает построения и решение задач, позволяет получить ответ или не- посредственно по данному чертежу, или при помощи простейших построений. Такое частное взаимное расположение прямых линий, плоских фигур и плоскостей проекций может быть обеспечено преобразованием чертежа

Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций При вращении вокруг некоторой, неподвижной прямой i (ось вращения) каждая точка вращаемой фигуры перемещается в плоскости, перпендикулярной к оси вращения (плоскость вращения). При этом точка перемещается по окружности, центр которой находится в точке пересечения оси с плоскостью вращения (ценmр вращения).

Способ параллельного перемещения При параллельном перемещении траектории перемещения каждой точки геометрической фигуры находятся в параллельных плоскостях, причем эти плоскости (носители траекторий) параллельны плоскостям проекций. Траектория перемещения – произвольная плоская линия.

В начертательной геометрии пользуются кинематическим способом образования поверхностей. При этом способе поверхность рассматривается как совокупность всех последовательных положений некоторой линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону.

Поверхсности вращения Поверхностью вращения называется поверхность, которая описывается какой- либо кривой, в частности прямой,(образующей) при ее вращении вокруг неподвижной оси.

Пересечение поверхностей,  когда одна из них проецирующая К проецирующим поверхностям относятся: 1) цилиндр, если его ось перпендикулярна плоскости проекций; 2) призма, если ребра призмы перпендикулярны плоскости проекций, Проецирующая поверхность проецируется в линию на плоскость проекций. Все точки и линии, принадлежащие боковой поверхности проецирующего цилиндра или проецирующей призме проецируются в линию на ту плоскость, которой ось цилиндра или ребро призмы перпендикулярно.

Способ вспомогательных секущих сфер с постоянным центром Известно, что если центр сферы находится на оси какой- нибудь поверхности вращения, то сфера соосна с поверхностью вращения и в их пересечении получаются окружности AB,CD, EF, КL

Общие сведения о пересечении поверхности плоскостью. При пересечении любого тела е плоскостью получается некоторого вида плоская фигура, называемая сечением. Под сечением понимают ту часть секущей плоскости, которая находится внутри рассеченного тела и ограничена линией сечения. Линией сечения тела плоскостью является контур этого сечения

Пересечение конуса с плоскостью В зависимости от направления секущей плоскости в сечении конуса вращения могут получиться различные линии, называемые вершину конуса, в его сечении получается пара прямых - образующие конуса ( рис 6.6, а). В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса, получается окружность

Метрические задачи Метрическими называются задачи, в которых приходится определять значения измеряемых величин - измерять величину угла между' двумя прямыми и расстояние между двумя точками. К метрическим относятся также задачи на построение угла и отрезка с наперед заданным соответственно градусной и линейной величины.

Определение действительной величины угля между прямой и плоскостью. Между двумя плоскостями Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость (прямая не перпендикулярна плоскости).

Определение расстояния от точки до плоскости, между плоскостями Расстояние от точки до плоскости определяется величиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Для изготовления деталей, получаемых путем свертывания и изгиба листового или полосового материала, необходимо иметь заготовки - развертки будущих деталей. Разверткой (выкройкой) поверхности тела называется плоская фигура, полученная путем совмещения всех точек данной поверхности с плоскостью без разрывов и складок.

Аксонометрические проекции Во многих случаях при выполнении технических чертежей оказывается необходимым наряду с комплексным чертежом оригинала давать более наглядное изображение, обладающее свойством обратимости.

Окружность в прямоугольной изометрии Окружности, вписанные в грани куба, проецируются в эллипсы, В прямоугольной изометрии все три эллипса одинаковы по форме, равны друг другу, но расположены различно

Машинная графика Одно из замечательных достижений человеческого гения в последние десятилетия -быстрое развитие электроники и вычислительной техники.

Проекции точки. Метод проецирования. Для построения изображения предметов на плоскости пользуютсь методом проецирования. Слово «проекция» - латинское, от глагола projecere, что в переводе означает «бросать вперед».

Проецирование точки на две плоскости проекций. Четверти пространства Две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П1 – горизонтальная плоскость проекций, П2 – фронтальная плоскость проекций делят пространство на четыре квадранта (четверти)

Проекции точки на три плоскости проекций. Октанты пространства В начертательной геометрии принято от пространственного изображения точки и ее проекций переходить к плоскому, или комплексному, чертежу, образованному вращением плоскости проекций вокруг осей проекций

Точки проекций общего и частного положения. Наиболее удобной для фиксирования положения геометрической фигуры в пространстве является декартова система координат, состоящая из трех взаимно перпендикулярных плоскостей

Проекции прямой Проецирование прямой на три плоскости проекции. Прямую можно рассматривать как результат пересечения двух плоскостей

Положение прямой относительно плоскости проекций. На рис 1.5. изображен параллелепипед со срезанной вершиной и произвольная треугольная пирамида. Ребра параллелепипеда и пирамиды занимают различные положения в пространстве относительно плоскостей проекций. Чтобы строить и читать чертежи, нужно уметь анализировать положения прямой. По своему положению в пространстве прямые распределяются на прямые частного и прямые общего положения.

Определение натуральной величины отрезка Если отрезок прямой занимает общее положение, то ни на одной основной плоскости проекций нельзя определить его истинную длину

Пересекающие прямые. Если две прямые в пространстве пересекаются, то их одноименные проекции также пересекаются в точках К1 иК2, лежащих на общей линии связи.

Проекции плоскости Способы задания плоскости на эпюре Из курса элементарной геометрии известно, что через три точки не лежащие на одной прямой можно провести плоскость и при том только одну.

Принадлежность прямой и точки заданной плоскости Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат этой плоскости

Главные линии плоскости В плоскости можно расположить бесчисленное количество прямых, среди которых будут линии уровня плоскости, т.е. прямые, параллельные плоскостям проекций, и прямые, перпендикулярные к этим линиям уровня, так называемые линии наибольшего уклона плоскости. Такие прямые называются главными (или особыми) линиями плоскости. К первым относятся горизонтальные линии плоскости (горизонтали плоскости), а также фронтальные и профильные (фронтали плоскости, профильные прямые плоскости).

Построение точки пересечения прямой и плоскости Прямая линия в пространстве может принадлежать плоскости (этот случай был рассмотрен ранее в пункте 3.4 настоящей главы), а также быть параллельной плоскости или пересекать её. При пересечении прямой линии с плоскостью следует выделить частный случай, когда прямая перпендикулярна плоскости. Первый случай был разобран в пункте 3.4, в котором рассматривалась одна из основных графических операций – построение линий, принадлежащих плоскости.

Параллельность прямой и плоскости При решении вопроса параллельности прямой линии и плоскости необходимо опираться на известное положение стереометрии: прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости.

Параллельность плоскостей Рассмотрим случай взаимной параллельности плоскостей. Если плоскости параллельны, то всегда в каждой из них можно построить по две пересекающиеся между собой прямые линии так, чтобы прямые одной плоскости были соответственно параллельны двум прямым другой плоскости

Примеры позиционных и метрических задач на плоскость Пример. В плоскости, заданной треугольником АВС, построить точку D

Пример. В плоскости, заданной двумя параллельными прямыми АВ и CD, провести фронталь на расстоянии 15 мм от фронтальной плоскости проекций

Методы преобразования комплексного чертежа (эпюра Монжа) Четыре основных задачи на преобразование При разработке чертежей объектов необходимо давать наиболее выгодное изображение объекта в целом или его исследуемых элементов. Этого можно достичь, если прямые линии, плоские фигуры (основания, грани, ребра, оси) геометрических тел находятся в частном положении, чего можно достигнуть путем построения новых дополнительных проекций, исходя из двух заданных. Эти дополнительные проекции дают либо вырожденные проекции отдельных элементов, либо эти элементы в натуральную величину. Так вот построение дополнительных проекций называют преобразованием эпюра (чертежа).

Приведение отрезка прямой АВ общего положения в проецирующее положение

Метод плоско-параллельного перемещения Этот метод является разновидностью метода вращения. Как известно, при вращении некоторой точки вокруг своей оси она описывает окружность, расположенную в плоскости, перпендикулярной оси вращения

Многогранники Задание многогранников на эпюре Монжа (общие положения) Многие пространственные фигуры представлены в виде многогранников – замкнутых пространственных фигур, ограниченных плоскими многоугольниками. Вершины и стороны многоугольников являются вершинами и ребрами многогранника, при этом, если все его вершины и ребра находятся по одну сторону плоскости любой из его граней, то многогранник называется выпуклым, а все его грани являются выпуклыми многоугольниками.

Пересечение многогранника плоскостью Цель пересечения многогранников – выяснить их конструктивные особенности, которые невозможно определить на обычных проекциях.

Пересечение многогранников с кривой поверхностью Линия пересечения многогранника с кривой поверхностью состоит из плоских кривых, каждая из которых получается в результате сечения кривой поверхности одной из граней многогранника. Точки, в которых эти плоские кривые соединяются друг с другом, являются точками пересечения ребер многогранника с кривой поверхностью.

Обобщенные позиционные задачи. Пересечение кривой поверхности плоскостью. В сечении поверхности плоскостью получается плоская линия, которую строят по отдельным точкам.

Построить проекции линии пересечения плоскость Т с поверхностью цилиндра. Проводим через ось цилиндра горизонтально – проецирующую плоскость R1 перпендикулярную к плоскости Т1 плоскость R пересекает поверхность цилиндра по образующим, а плоскость Т – по прямой (N1M1;N2M2); на их пересечении получаем низшую точку (1) и высшую точку (2) линий пересечения.

Пример. Найти точки пересечения прямой АВ с поверхностью конуса. Проведем через прямую АВ вспомогательную плоскость ABS, проходящую через вершину конуса. Соединим прямыми концы отрезка АВ (или его промежуточные точки) с проекциями вершины конуса и найдем горизонтальные следы прямых SA и SB.

Касательные плоскости. Построение плоскости, касательной к кривой поверхности. Плоскостью, касательной к поверхности, называется плоскость, определяемая двумя прямыми, касательными к двум пересекающимся линиям, принадлежащим этой поверхности.

Касательные плоскости к линейчатым поверхностям с параболическими точками. Линейчатая поверхность с параболическими точками – это конус и цилиндр, каркас которых множество прямых – образующих.

Касательные плоскости к не линейчатым поверхностям с эллиптическими точками. Для построения касательной плоскости в заданной точке поверхности вращения, прежде всего, необходимо через заданную точку провести по поверхности две кривые линии. Касательные прямые к ним и определяют искомую касательную плоскость.

Касательные плоскости к линейчатым поверхностям с гиперболическими точками. У не развертывающихся линейчатых поверхностей гиперболического гиперболоида или однополостного гиперболоида - через каждую точку поверхности проходят две образующие, принадлежащие к различным семействам.

Пример. Построить на горизонтальной проекции очерк конуса, ось которого i параллельна плоскости П2 и наклонена к плоскости П1.

Аксонометрические проекции. Аксонометрические изображения широко применяются благодаря хорошей наглядности и простоте построения.

Треугольник следов и его свойства. Теорема Польке

Прямоугольная изометрия В этом виде аксонометрии все углы между осями равны 120 градусов , а все показатели искажения равно 0,82

Построение аксонометрических изображений. Построение в изометрической проекции плоских фигур.

Построении в диметрической проекции плоских фигур. Построим правильный шестиугольник в диметрической проекции.

Пример штриховки в четверти выреза детали

Способы сечений. По данному комплексному чертежу предмета сначала строят аксонометрические проекции фигур сечения, затем дочерчивают части изображения предмета, расположенные за секущими плоскостями. Второй способ упрощает построение, освобождает чертеж от лишних линий

Пересечение поверхностей призм и пирамид. В приемах построения проекции линии пересечения двух прямых призм много общего с построением линий пересечения двух цилиндров.

Тени от геометрических тел. От любого геометрического тела можно построит в той или иной аксонометрической проекции падающую тень, а на самом теле найти его собственную тень

Геометрические основы теории теней При оформлении чертежей фасадов зданий или других архитектурных сооружений возникает необходимость придать изображаемому объекту объемность, рельефность форм, подчеркнуть соотношение пропорций отдельных частей, т.е. придать чертежу наглядность, выразительность.

Падающая тень от прямой линии состоит из падающих теней от всех ее точек. Совокупность лучей, проходящих через все точки прямой, в пространстве образует лучевую, (световую) плоскость. Поэтому тень от прямой линии есть прямая пересечения лучевой плоскости с плоскостью, на которую падает тень

При построении падающей тени от плоской фигуры считают, что плоская фигура непрозрачна. Построение падающей тени от любой плоской фигуры сводится к построению падающих теней всех ее точек.

Метод обратных лучей

Собственные и падающие тени на фасадах зданий Представление о внешнем виде здания в основном создается по чертежу фасада. Поэтому рассмотрим примеры построения теней от различных элементов фасада, используя те же приемы, что и при построении теней геометрических тел

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Производная Основные понятия

Вычисление производной Формулы вычисления производной некоторых элементарных функций получены в курсе средней школы

Примеры. Найти производную функции.

Производная степенной функции с любым действительным показателем

Производные высших порядков

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Дифференцирование функций, заданных неявно

Логарифмическое дифференцирование

Дифференциал функции Рассмотрим функцию у = х3. Дадим некоторому значению аргумента х ¹ 0 приращение ¹ 0, тогда функция получит соответствующее приращение Dу. Вычислим его.

Дифференциалы высших порядков

Теорема Ферма

Теорема Лагранжа 

Теорема Коши

Теорема Лопиталя

Примеры на применение правила Лопиталя.

Применение производной к исследованию функций

Интервалы монотонности.

Точки перегиба

Асимптотой графика функции у = f(x) называется прямая, расстояние от которой до текущей точки графика функции стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.

План исследования функции и построение графика

Пример . Исследовать функцию y= x-2arctgx и построить ее график.

Пример . Исследовать функцию и построить ее график.

Пределы и непрерывность функции

Предел функции

Пример. Доказать, что   (2х +1) = 7.

Пример . Функция у = sin х ограничена на всей числовой оси, так как . Функция   не ограничена на множестве, содержащем точку х = 0.

Односторонние пределы

Рассмотрим на примерах основные приёмы раскрытия неопределенностей

Пример . Найти

Первый и второй замечательные пределы

Непрерывность функции Функция f(x), определенная на множестве Х, называется непрерывной в точке , если

Пример. Функция   является непрерывной справа в точке х = 0, слева же от этой точки она вообще не определена.

Точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва первого рода или точкой устранимого разрыва, является точкой разрыва второго рода.

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторы. Основные понятия

Линейные операции над векторами

.Вычитание векторов.

Умножение вектора на число.

Проекция вектора на ось

Пример . При каком условии ?

Координаты вектора

Направляющие косинусы вектора Направление вектора в пространстве определяется углами , которые вектор образует с осями координат. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора: , , .

Деление отрезка в данном отношении

Пример. Даны вершины треугольника , , . Найти точку пересечения медиан этого треугольника и орт вектора

Пример. Показать, что точки , , лежат на одной прямой, причем A – между B и C.

Скалярное произведение векторов

Пример. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .

Смешанное произведение векторов

Угол между двумя прямыми. Пусть прямые и заданы соответственно уравнениями , , где ,

Расстояние от точки до прямой. Пусть прямая на плоскости задана уравнением и точка имеет координаты

Пример. Прямая задана уравнением . Составить уравнения а) прямой , проходящей через точку параллельно прямой ; б) прямой , проходящей через начало координат перпендикулярно прямой .

Пример. В треугольнике с вершинами , , составить уравнения медианы , высоты , найти длину высоты

Кривые второго порядка

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Общее уравнение кривой второго порядка

Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча Ор, исходящего из этой точки и называемого полярной осью, и единицы масштаба

Пример. Построить в полярной системе координат точки

Пример. Дано полярное уравнение линии Построить эту линию по точкам. Найти ее декартово уравнение, расположив систему Охy

Пример. Найти полярное уравнение окружности

Пример. Записать канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями

Взаимное расположение прямой и плоскости

Пример. Показать, что прямая лежит в плоскости

Поверхности второго порядка

Конической поверхностью называется поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и проходящих через данную точку Р. Линия L при этом называется направляющей конической поверхности, точка Р – ее вершиной, а каждая из прямых, составляющих коническую поверхность, – ее образующей

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением Это замкнутая овальная поверхность, симметричная каждой из координатных плоскостей

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением

Элементы линейной алгебры

Определители второго порядка

Определители 3-го порядка

Пример. Вычислить определитель: по правилу треугольника.

Пример. Вычислить определитель , разлагая его по элементам второй строки.

Пример. Вычислить определитель , используя свойства определителей.

Определители 4-го порядка. Методы их вычисления

Метод понижения порядка определителя

Метод приведения к треугольному виду

Пример. Вычислить произведение матриц и .

Пример . Пусть . Найти значение многочлена

Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если её определитель отличен от нуля, и вырожденной (особенной), если определитель её равен нулю.

Пример. Найти матрицу, обратную для матрицы

Пример. Найти ранг матрицы

Пример. Решить систему уравнений по правилу Крамера:

Пример. Матричным методом решить систему уравнений

Метод Гаусса

Пример. Решить систему

Пример. Исследовать совместность системы

Пример. Исследовать совместность и найти общее решение системы

Лекции и задачи по физике

Физические основы термодинамики Термодинамика, как и молекулярная физика, занимается изучением физических процессов, происходящих в макроскопических системах, т.е. в телах, содержащих огромное число микрочастиц, взаимодействующих друг с другом и внешними телами.

Лабораторная работа Определение диэлектрической проницаемости жидкости методом двухпроводной линии Цель работы: а) ознакомиться с основами теории Максвелла, свойствами электромагнитных волн и механизмом распространения в двухпроводной линии

Деление кристаллов на диэлектрики, металлы и полупроводники Все кристаллы разделяются на диэлектрики, металлы и полупроводники. Рассмотрим их энергетические зоны.

Атомная физика Модель атома Дж. Дж. Томсона (“пудинг с изюмом”) Атом представляет собой положительно заряженную сферу, в которую вкраплены отрицательно заряженные частицы - электроны.

Закон радиоактивного распада. Период полураспада - время, в течение которого в среднем распадается половина всех атомов данного радиоактивного вещества.

Задача. Чему равны средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К.

Уравнение динамики поступательного движения тела

Мерой инертности твердого тела при вращательном движении является момент инерции

Точка совершает гармоническое колебание. Период колебаний 2 с, амплитуда 50 мм, начальная фаза равна нулю. Найти скорость точки в момент времени, когда ее смещение от положения равновесия равно 25 мм.

Чему равны средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К.

В результате изотермического расширения объем 8 г кислорода увеличился в 2 раза. Определить изменение энтропии газа.

Идеальный 3х атомный газ. Найти изменение энтропии при изменении объема.

Задачи

Ядерная энергетика